4- Integre a seguinte função tanto analiticamente quanto usando a regra do trapézio, com \mathrm{n}=1,2,3 e 4:
\int_{1}^{2}(x+2 / x)^{2} d x
Use a solução analítica para calcular os erros relativos porcentuais verdadeiros para avaliar a precisão das aproximações por trapézios.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{2} (x + 2/x)^{2}\,dx
de duas maneiras: (a) analiticamente (exata) e (b) aproximando por regra do trapézio com \mathrm{n}=1,2,3,4. Em seguida, usar a solução analítica como valor verdadeiro para calcular os erros relativos percentuais verdadeiros das aproximações por trapézio.
Informações dadas e o que é pedido:
\text{Integral: }\int_{1}^{2} (x + 2/x)^{2}\,dx.
Pediram:
  1. Valor analítico exato da integral.
  2. Aproximações pela regra do trapézio para \mathrm{n}=1,2,3,4.
  3. Cálculo dos erros relativos percentuais verdadeiros usando o valor analítico como referência.

Passo 2

Primeiro vamos achar a expressão mais simples da função a integrar, expandindo o quadrado para facilitar a integração termo a termo. A identidade que usamos é (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Aplicando com a=x e b=2/x:
(x + 2/x)^{2} = x^{2} + 2\cdot x\cdot\frac{2}{x} + \left(\frac{2}{x}\right)^{2} = x^{2} + 4 + \frac{4}{x^{2}}.
Agora integramos cada termo separadamente. Lembre que as integrais básicas são:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},\qquad \int 4\,dx = 4x,\qquad \int \frac{4}{x^{2}}\,dx = 4\int x^{-2}\,dx = 4\left(-x^{-1}\right) = -\frac{4}{x}.
Portanto uma antiderivada F(x) é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}+4x-\frac{4}{x}.
A integral definida é F(2)-F(1). Calculamos:
F(2)=\frac{2^{3}}{3}+4\cdot2-\frac{4}{2}=\frac{8}{3}+8-2=\frac{8}{3}+6=\frac{26}{3},
F(1)=\frac{1^{3}}{3}+4\cdot1-\frac{4}{1}=\frac{1}{3}+4-4=\frac{1}{3}.
Subtraindo,
\int_{1}^{2}(x+2/x)^{2}\,dx = F(2)-F(1)=\frac{26}{3}-\frac{1}{3}=\frac{25}{3}.
Como número decimal isso é
\frac{25}{3}=8{,}333333\ldots
Este é o valor verdadeiro (analítico) que usaremos para comparar as aproximações.

Passo 3

Agora vamos à regra do trapézio. Vou explicar o que ela é e a fórmula que vamos usar.
Ideia: dividir o intervalo [a,b] em \mathrm{n} subintervalos de largura h=(b-a)/\mathrm{n}. Nos nós x_{0}=a,x_{1}=a+h,\dots,x_{\mathrm{n}}=b avaliamos f(x). A regra do trapézio aproxima a área sob a curva por trapézios em cada subintervalo, resultando na fórmula
T_{\mathrm{n}}=h\left(\frac{1}{2}f(x_{0})+\sum_{i=1}^{\mathrm{n}-1} f(x_{i})+\frac{1}{2}f(x_{\mathrm{n}})\right).
Aqui h=(b-a)/\mathrm{n}, x_{i}=a+i h. Para o nosso caso a=1 e b=2, então h=1/\mathrm{n}.
Para medir a precisão usamos o erro relativo percentual verdadeiro (usando o valor analítico I como referência):
\text{Erro percentual} = \left|\frac{T_{\mathrm{n}}-I}{I}\right|\times 100\%.
No nosso problema I=\dfrac{25}{3}.

Passo 4

Cálculo para \mathrm{n}=1.
Dados:
h=\frac{2-1}{1}=1,
nós: x_{0}=1,\;x_{1}=2.
Avaliações da função f(x)=(x+2/x)^{2}:
f(1)=(1+2)^{2}=9,\qquad f(2)=(2+1)^{2}=9.
Aplicando a fórmula do trapézio:
T_{1}=1\left(\frac{1}{2}f(1)+\frac{1}{2}f(2)\right)=\frac{1}{2}\cdot9+\frac{1}{2}\cdot9=9.
Erro percentual verdadeiro:
\left|\frac{T_{1}-I}{I}\right|\times100\%=\left|\frac{9-\tfrac{25}{3}}{\tfrac{25}{3}}\right|\times100\% =\left|\frac{\tfrac{27}{3}-\tfrac{25}{3}}{\tfrac{25}{3}}\right|\times100\% =\frac{2/3}{25/3}\times100\%=\frac{2}{25}\times100\%=8{,}0\%.

Passo 5

Cálculo para \mathrm{n}=2.
Dados:
h=\frac{1}{2},\qquad x_{0}=1,\;x_{1}=1{,}5,\;x_{2}=2.
Avaliações:
f(1)=9,\qquad f\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\left(\tfrac{3}{2}+\tfrac{2}{3/2}\right)^{2} =\left(\tfrac{3}{2}+\tfrac{4}{3}\right)^{2}=\left(\tfrac{17}{6}\right)^{2}=\frac{289}{36}.
f(2)=9.
Aplicando a fórmula:
T_{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}f(1)+f\!\left(\tfrac{3}{2}\right)+\frac{1}{2}f(2)\right) =\frac{1}{2}\left(9+\frac{289}{36}\right)=\frac{613}{72}\approx 8{,}513888\dots
Erro percentual:
\left|\frac{T_{2}-I}{I}\right|\times100\%=\left|\frac{\tfrac{613}{72}-\tfrac{25}{3}}{\tfrac{25}{3}}\right|\times100\% =\frac{13/72}{25/3}\times100\%=\frac{13}{600}\times100\%=2{,}1667\%\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Cálculo para \mathrm{n}=3.
Dados:
h=\frac{1}{3},\qquad x_{0}=1,\;x_{1}=\frac{4}{3},\;x_{2}=\frac{5}{3},\;x_{3}=2.
Avaliações (calculei exatamente em forma racional):
f(1)=9,\qquad f\!\left(\tfrac{4}{3}\right)=\left(\tfrac{4}{3}+\tfrac{2}{4/3}\right)^{2}=\left(\tfrac{4}{3}+\tfrac{3}{2}\right)^{2}=\left(\tfrac{17}{6}\right)^{2}=\frac{289}{36},
f\!\left(\tfrac{5}{3}\right)=\left(\tfrac{5}{3}+\tfrac{2}{5/3}\right)^{2}=\left(\tfrac{5}{3}+\tfrac{6}{5}\right)^{2}=\left(\tfrac{43}{15}\right)^{2}=\frac{1849}{225},
f(2)=9.
Aplicando a fórmula:
T_{3}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}f(1)+f\!\left(\tfrac{4}{3}\right)+f\!\left(\tfrac{5}{3}\right)+\frac{1}{2}f(2)\right) =\frac{1}{3}\left(9+\frac{289}{36}+\frac{1849}{225}\right).
Colocando em forma racional simplificada obtém-se
T_{3}=\frac{22721}{2700}\approx 8{,}4151851852.
Erro percentual:
\left|\frac{T_{3}-I}{I}\right|\times100\%=\frac{\tfrac{22721}{2700}-\tfrac{25}{3}}{\tfrac{25}{3}}\times100\% =\frac{221}{22500}\times100\%=0{,}9822\%\\ (\text{aprox.}).

Passo 7

Cálculo para \mathrm{n}=4.
Dados:
h=\frac{1}{4}=0{,}25,\qquad x_{0}=1,\;x_{1}=1{,}25,\;x_{2}=1{,}5,\;x_{3}=1{,}75,\;x_{4}=2.
Avaliações (algumas exatas):
f(1)=9,
f\!\left(\tfrac{5}{4}\right)=\left(\tfrac{5}{4}+\frac{2}{5/4}\right)^{2}=\left(\tfrac{5}{4}+\tfrac{8}{5}\right)^{2}=\left(\tfrac{57}{20}\right)^{2}=\frac{3249}{400}=8{,}1225,
f\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\frac{289}{36}\approx 8{,}027777\dots,
f\!\left(\tfrac{7}{4}\right)=\left(\tfrac{7}{4}+\frac{2}{7/4}\right)^{2}=\left(\tfrac{7}{4}+\tfrac{8}{7}\right)^{2}=\left(\tfrac{81}{28}\right)^{2}=\frac{6561}{784}\approx 8{,}3742449,
f(2)=9.
Aplicando a fórmula do trapézio:
T_{4}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}f(1)+f\!\left(\tfrac{5}{4}\right)+f\!\left(\tfrac{3}{2}\right)+f\!\left(\tfrac{7}{4}\right)+\frac{1}{2}f(2)\right).
Somando e calculando numericamente obtemos
T_{4}\approx 8{,}3811306689.
Erro percentual:
\left|\frac{T_{4}-I}{I}\right|\times100\%\approx\frac{8{,}3811306689-8{,}3333333333}{8{,}3333333333}\times100\%\approx0{,}5736\%.

Passo 8

Resumo do que fizemos e observações rápidas: calculamos a integral exatamente e depois aplicamos a regra do trapézio com \mathrm{n}=1,2,3,4. Observa-se que, conforme esperado, ao aumentar \mathrm{n} a aproximação melhora (os erros percentuais caem). A regra do trapézio é simples e útil quando queremos uma aproximação rápida sem integrar simbolicamente; para funções suaves o erro decresce com h^{2} (ou seja, quadrático em h), o que explica a redução rápida do erro ao aumentar \mathrm{n}.

Resposta

Valor analítico exato: \dfrac{25}{3}.
\mathrm{n}=1:\;T_{1}=9,\;\text{Erro percentual}=8{,}0\%.
\mathrm{n}=2:\;T_{2}=\dfrac{613}{72}\approx 8{,}5138888889,\;\text{Erro percentual}\approx 2{,}1667\%.
\mathrm{n}=3:\;T_{3}=\dfrac{22721}{2700}\approx 8{,}4151851852,\;\text{Erro percentual}\approx 0{,}9822\%.
\mathrm{n}=4:\;T_{4}\approx 8{,}3811306689,\;\text{Erro percentual}\approx 0{,}5736\%.

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