4- Integre a seguinte função tanto analiticamente quanto usando a regra do trapézio, com \mathrm{n}=1,2,3 e 4:
\int_{1}^{2}(x+2 / x)^{2} d x
Use a solução analítica para calcular os erros relativos porcentuais verdadeiros para avaliar a precisão das aproximações por trapézios.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{2} (x + 2/x)^{2}\,dx
de duas maneiras: (a) analiticamente (exata) e (b) aproximando por regra do trapézio com \mathrm{n}=1,2,3,4. Em seguida, usar a solução analítica como valor verdadeiro para calcular os erros relativos percentuais verdadeiros das aproximações por trapézio.
Informações dadas e o que é pedido:
\text{Integral: }\int_{1}^{2} (x + 2/x)^{2}\,dx.
Pediram:
Valor analítico exato da integral.
Aproximações pela regra do trapézio para \mathrm{n}=1,2,3,4.
Cálculo dos erros relativos percentuais verdadeiros usando o valor analítico como referência.
Passo 2
Primeiro vamos achar a expressão mais simples da função a integrar, expandindo o quadrado para facilitar a integração termo a termo. A identidade que usamos é (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Aplicando com a=x e b=2/x:
Este é o valor verdadeiro (analítico) que usaremos para comparar as aproximações.
Passo 3
Agora vamos à regra do trapézio. Vou explicar o que ela é e a fórmula que vamos usar.
Ideia: dividir o intervalo [a,b] em \mathrm{n} subintervalos de largura h=(b-a)/\mathrm{n}. Nos nós x_{0}=a,x_{1}=a+h,\dots,x_{\mathrm{n}}=b avaliamos f(x). A regra do trapézio aproxima a área sob a curva por trapézios em cada subintervalo, resultando na fórmula
Resumo do que fizemos e observações rápidas: calculamos a integral exatamente e depois aplicamos a regra do trapézio com \mathrm{n}=1,2,3,4. Observa-se que, conforme esperado, ao aumentar \mathrm{n} a aproximação melhora (os erros percentuais caem). A regra do trapézio é simples e útil quando queremos uma aproximação rápida sem integrar simbolicamente; para funções suaves o erro decresce com h^{2} (ou seja, quadrático em h), o que explica a redução rápida do erro ao aumentar \mathrm{n}.