\int\left(1-\cos (4 x)+\operatorname{sen}\left(\frac{x}{7}\right)\right) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(1-\cos(4x)+\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{7}\right)\right)\mathrm{d}x.
Informações dadas que vamos usar:
\text{1) a integranda é a soma de três termos: }1,\; -\cos(4x),\; \operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{7}\right).éê
\text{2) aqui interpreto } \operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{7}\right)\text{ como o seno, i.e. } \sin\!\left(\frac{x}{7}\right).
O que se pede: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é uma função F(x) tal que F'(x)=1-\cos(4x)+\sin\!\left(\frac{x}{7}\right).

Passo 2

Regra básica que vamos usar: linearidade da integral. Ela diz que a integral da soma é a soma das integrais, e que constantes saem da integral. Em fórmulas:
\int\big(f(x)+g(x)+h(x)\big)\,\mathrm{d}x=\int f(x)\,\mathrm{d}x+\int g(x)\,\mathrm{d}x+\int h(x)\,\mathrm{d}x,
\int a\cdot f(x)\,\mathrm{d}x = a\int f(x)\,\mathrm{d}x \quad\text{(para constante \(a\)).}
Aplicando isso ao nosso caso:
\int\left(1-\cos(4x)+\sin\!\left(\frac{x}{7}\right)\right)\mathrm{d}x = \int 1\,\mathrm{d}x - \int \cos(4x)\,\mathrm{d}x + \int \sin\!\left(\frac{x}{7}\right)\mathrm{d}x.

Passo 3

Integral do primeiro termo: \int 1\,\mathrm{d}x.
A primitiva de uma constante 1 é x, porque \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x=1. Logo
\int 1\,\mathrm{d}x = x.

Passo 4

Integral do segundo termo: -\int \cos(4x)\,\mathrm{d}x.
Fórmula útil (que vem da derivação de \sin): para constante a\neq 0,
\int \cos(ax)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{a}\sin(ax) + C,
pois \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin(ax)=a\cos(ax).
Aplicando com a=4:
\int \cos(4x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{4}\sin(4x).
Portanto, com o sinal negativo:
- \int \cos(4x)\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{4}\sin(4x).
(Se preferir ver por substituição: faça u=4x\Rightarrow \mathrm{d}u=4\mathrm{d}x, então \int \cos(4x)\mathrm{d}x=\int \cos(u)\frac{\mathrm{d}u}{4}=\frac{1}{4}\sin(u)=\frac{1}{4}\sin(4x).)

Passo 5

Integral do terceiro termo: \int \sin\!\left(\frac{x}{7}\right)\mathrm{d}x.
Podemos usar substituição direta: coloque u=\frac{x}{7}. Então \mathrm{d}u=\frac{1}{7}\mathrm{d}x, ou seja \mathrm{d}x=7\,\mathrm{d}u. Assim
\int \sin\!\left(\frac{x}{7}\right)\mathrm{d}x = \int \sin(u)\cdot 7\,\mathrm{d}u = 7\int \sin(u)\,\mathrm{d}u.
Sabemos que \int \sin(u)\,\mathrm{d}u = -\cos(u)+C (porque \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\cos(u)=-\sin(u)). Portanto
7\int \sin(u)\,\mathrm{d}u = 7\big(-\cos(u)\big) = -7\cos(u).
Voltando a x: u=\frac{x}{7}, logo
\int \sin\!\left(\frac{x}{7}\right)\mathrm{d}x = -7\cos\!\left(\frac{x}{7}\right).
Também existe a fórmula direta: \int \sin(ax)\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{a}\cos(ax); aqui a=\tfrac{1}{7}, então -\frac{1}{a}=-7, mesmo resultado.

Passo 6

Somando todos os resultados (e lembrando da constante de integração C) temos a primitiva completa:
F(x)=x - \frac{1}{4}\sin(4x) - 7\cos\!\left(\frac{x}{7}\right) + C.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): derivando F(x) para ver se volta a integranda:
F'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x - \frac{1}{4}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin(4x) -7\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos\!\left(\frac{x}{7}\right).
Calculando as derivadas: \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x=1; \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin(4x)=4\cos(4x) então -\frac{1}{4}\cdot 4\cos(4x)=-\cos(4x); e \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos(\tfrac{x}{7})=-\sin(\tfrac{x}{7})\cdot\tfrac{1}{7}, então -7\cdot\big(-\sin(\tfrac{x}{7})\cdot\tfrac{1}{7}\big)=\sin(\tfrac{x}{7}). Somando:
F'(x)=1-\cos(4x)+\sin\!\left(\frac{x}{7}\right),
que é exatamente a integranda. Perfeito!

Resposta

x-\dfrac{1}{4}\sin(4x)-7\cos\!\left(\dfrac{x}{7}\right)+C

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