Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas que vamos usar:
O que se pede: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é uma função
tal que
.
Passo 2
Regra básica que vamos usar: linearidade da integral. Ela diz que a integral da soma é a soma das integrais, e que constantes saem da integral. Em fórmulas:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 3
Integral do primeiro termo:
.
A primitiva de uma constante
é
, porque
. Logo
Passo 4
Integral do segundo termo:
.
Fórmula útil (que vem da derivação de
): para constante
,
pois
.
Aplicando com
:
Portanto, com o sinal negativo:
(Se preferir ver por substituição: faça
, então
.)
Passo 5
Integral do terceiro termo:
.
Podemos usar substituição direta: coloque
. Então
, ou seja
. Assim
Sabemos que
(porque
). Portanto
Voltando a
:
, logo
Também existe a fórmula direta:
; aqui
, então
, mesmo resultado.
Passo 6
Somando todos os resultados (e lembrando da constante de integração
) temos a primitiva completa:
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom checar na prova): derivando
para ver se volta a integranda:
Calculando as derivadas:
;
então
; e
, então
. Somando:
que é exatamente a integranda. Perfeito!