Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
O que se pede: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. Não foi dada nenhuma condição inicial, então a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Vamos usar duas propriedades básicas de integrais que simplificam muito o trabalho:
- linearidade da integral (soma de integrais):
- fator constante sai da integral:
Aplicando isso ao nosso integrando, podemos separar a integral em três integrais mais simples.
Passo 3
Separe a integral:
Agora resolvemos cada uma dessas três integrais individualmente.
Passo 4
Integral da primeira parte
.
Usamos a regra da potência para integrais: para
,
Aqui
é
, portanto
(Anote que a constante de integração será colocada no final, uma única vez.)
Passo 5
Integral da segunda parte
.
Primeiro, apliquei o fator
para fora da integral (já feito). Para integrar
usamos a fórmula padrão: se
é constante então
Aqui
. Logo
Multiplicando pelo fator
:
(Se quiser visualizar por substituição: tomar
então
, daí
.)
Passo 6
Integral da terceira parte
.
Usamos a regra para funções trigonométricas: se
é constante então
Aqui
. Portanto
(Alternativamente, verificar: derivando
obtemos
, conferindo que é uma primitiva.)
Passo 7
Some todas as partes obtidas e acrescente a constante de integração
:
Passo 8
Cheque rápido (verificação): derivando a resposta devemos recuperar o integrando.
Derivada de é
.
Derivada de é
.
Derivada de é
.
Somando: . Está correto.
Derivada de
Derivada de
Derivada de
Somando: