\int\left(x+3 e^{5 x}+\cos (2 x)\right) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função x+3 e^{5 x}+\cos(2 x).
Informações dadas:
\int\left(x+3 e^{5 x}+\cos(2 x)\right)\mathrm{d}x
O que se pede: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x+3 e^{5 x}+\cos(2 x). Não foi dada nenhuma condição inicial, então a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar duas propriedades básicas de integrais que simplificam muito o trabalho:
  1. linearidade da integral (soma de integrais):
\int\big(f(x)+g(x)+h(x)\big)\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x+\int g(x)\mathrm{d}x+\int h(x)\mathrm{d}x.
  1. fator constante sai da integral:
\int a\cdot f(x)\mathrm{d}x = a\int f(x)\mathrm{d}x\quad\text{para constante }a.
Aplicando isso ao nosso integrando, podemos separar a integral em três integrais mais simples.

Passo 3

Separe a integral:
\int\left(x+3 e^{5 x}+\cos(2 x)\right)\mathrm{d}x = \int x\,\mathrm{d}x + 3\int e^{5x}\mathrm{d}x + \int \cos(2x)\mathrm{d}x.
Agora resolvemos cada uma dessas três integrais individualmente.

Passo 4

Integral da primeira parte \int x\,\mathrm{d}x.
Usamos a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int x^{n}\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui x é x^{1}, portanto
\int x\,\mathrm{d}x = \frac{x^{2}}{2}.
(Anote que a constante de integração será colocada no final, uma única vez.)

Passo 5

Integral da segunda parte 3\int e^{5x}\mathrm{d}x.
Primeiro, apliquei o fator 3 para fora da integral (já feito). Para integrar e^{5x} usamos a fórmula padrão: se a é constante então
\int e^{a x}\mathrm{d}x = \frac{1}{a}e^{a x}.
Aqui a=5. Logo
\int e^{5x}\mathrm{d}x = \frac{1}{5}e^{5x}.
Multiplicando pelo fator 3:
3\int e^{5x}\mathrm{d}x = 3\cdot\frac{1}{5}e^{5x}=\frac{3}{5}e^{5x}.
(Se quiser visualizar por substituição: tomar u=5x então \mathrm{d}u=5\mathrm{d}x, daí \int e^{5x}\mathrm{d}x=\int e^{u}\frac{\mathrm{d}u}{5}=\frac{1}{5}e^{u}=\frac{1}{5}e^{5x}.)

Passo 6

Integral da terceira parte \int \cos(2x)\mathrm{d}x.
Usamos a regra para funções trigonométricas: se b é constante então
\int \cos(bx)\mathrm{d}x = \frac{1}{b}\sin(bx).
Aqui b=2. Portanto
\int \cos(2x)\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\sin(2x).
(Alternativamente, verificar: derivando \frac{1}{2}\sin(2x) obtemos \frac{1}{2}\cdot 2\cos(2x)=\cos(2x), conferindo que é uma primitiva.)

Passo 7

Some todas as partes obtidas e acrescente a constante de integração C:
\int\left(x+3 e^{5 x}+\cos(2 x)\right)\mathrm{d}x = \frac{x^{2}}{2} + \frac{3}{5}e^{5x} + \frac{1}{2}\sin(2x) + C.

Passo 8

Cheque rápido (verificação): derivando a resposta devemos recuperar o integrando.
Derivada de \frac{x^{2}}{2} é x.
Derivada de \frac{3}{5}e^{5x} é \frac{3}{5}\cdot 5 e^{5x}=3 e^{5x}.
Derivada de \frac{1}{2}\sin(2x) é \frac{1}{2}\cdot 2\cos(2x)=\cos(2x).
Somando: x+3 e^{5x}+\cos(2x). Está correto.

Resposta

\frac{x^{2}}{2}+\frac{3}{5}e^{5x}+\frac{1}{2}\sin(2x)+C

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