Isolar as raízes reais de
p(x)=x^{3}-6 x^{2}+11 x-6
e refinar cada uma delas por Newton-Raphson.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas aplicadas ao polinômio
p(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6:
  • Isolar as raízes reais (ou seja, encontrar intervalos ou valores onde estão as raízes reais).
  • Refinar cada raiz real usando o método de Newton–Raphson.
Informações dadas:
  • O polinômio explícito p(x) está acima.
  • Não há outras informações adicionais (vamos assumir que podemos testar raízes racionais e usar derivada).

Passo 2

Primeiro passo prático: procurar raízes racionais (teste de raízes racionais). Os divisores de termo independente -6 são \pm1,\pm2,\pm3,\pm6. Vamos testar x=1,2,3 (os candidatos mais prováveis).
Calcular p(1), p(2) e p(3):
p(1)=1-6+11-6=0,
p(2)=8-24+22-6=0,
p(3)=27-54+33-6=0.
Como p(1)=p(2)=p(3)=0, já encontramos três raízes: x=1, x=2 e x=3. Isso isola as raízes reais (cada uma é um ponto isolado).

Passo 3

Fatoração do polinômio a partir das raízes encontradas (mostra que não há outras raízes reais):
Como 1,2,3 são raízes, o polinômio se fatoriza como
p(x)=(x-1)(x-2)(x-3).
Podemos verificar expandindo: primeiro (x-2)(x-3)=x^{2}-5x+6 e então (x-1)(x^{2}-5x+6)=x^{3}-6x^{2}+11x-6, que bate com p(x). Portanto as únicas raízes (reais) são x=1,2,3 (cada uma é simples).

Passo 4

Apresentação do método de Newton–Raphson (a “aula”):
  • Ideia: dado um palpite inicial x_0 próximo de uma raiz simples, melhorar o palpite por
x_{n+1}=x_n-\frac{p(x_n)}{p'(x_n)}.
  • Aqui p'(x) é a derivada de p, que indica a inclinação da curva no ponto x_n. Para nosso p,
p'(x)=3x^{2}-12x+11.
  • Interpretação: a fórmula usa a reta tangente a y=p(x) em x_n; a interseção dessa reta com o eixo x é o próximo palpite x_{n+1}.
  • Critério de parada prático: parar quando |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon para uma tolerância \varepsilon pequena (por exemplo \varepsilon=10^{-8}) ou quando |p(x_n)| for muito pequeno.
  • Observação útil: como já sabemos que p(x)=(x-1)(x-2)(x-3), para avaliar p(x_n) é muito fácil computar o produto (x_n-1)(x_n-2)(x_n-3) em vez de expandir.

Passo 5

Escolha de palpites iniciais (simples e próximos de cada raiz):
  • Para a raiz 1: escolho x_0=0{,}9 (um palpite à esquerda, simples).
  • Para a raiz 2: escolho x_0=2{,}1 (um palpite ligeiramente à direita).
  • Para a raiz 3: escolho x_0=3{,}1.
Essas escolhas são intuitivas: começam perto das raízes inteiras e a aritmética das avaliações fica simples.

Passo 6

Refinar a raiz perto de 1 (iterações detalhadas):
  • Iteração 0: x_0=0{,}9.
    Calcular p(x_0) e p'(x_0): p(0{,}9)=(0{,}9-1)(0{,}9-2)(0{,}9-3)=\bigl(-0{,}1\bigr)\bigl(-1{,}1\bigr)\bigl(-2{,}1\bigr)=-\tfrac{231}{1000}=-0{,}231.
p'(0{,}9)=3(0{,}9)^{2}-12(0{,}9)+11=\tfrac{263}{100}=2{,}63.
Aplicando Newton:
x_{1}=0{,}9-\frac{-0{,}231}{2{,}63}=0{,}9+\frac{231}{2630}=\frac{2598}{2630}\approx0{,}987832.
  • Iteração 1: x_{1}\approx0{,}987832.
    Avaliando com o produto (mais simples):
    p(x_{1})=(x_{1}-1)(x_{1}-2)(x_{1}-3)\approx(-0{,}012168)(-1{,}012168)(-2{,}012168)\approx-0{,}0243358.
    Derivada:
    p'(x_{1})=3x_{1}^{2}-12x_{1}+11\approx2{,}07345.
    Atualização:
    x_{2}=x_{1}-\frac{p(x_{1})}{p'(x_{1})}\approx0{,}987832-\frac{-0{,}0243358}{2{,}07345}\approx0{,}999570.
  • Iteração 2: x_{2}\approx0{,}999570.
    p(x_{2})\approx(x_{2}-1)(x_{2}-2)(x_{2}-3)\approx(-0{,}000430)(-1{,}000430)(-2{,}000430)\approx-0{,}000860.
p'(x_{2})\approx3x_{2}^{2}-12x_{2}+11\approx2{,}00258.
x_{3}=x_{2}-\frac{p(x_{2})}{p'(x_{2})}\approx0{,}999570-\frac{-0{,}000860}{2{,}00258}\approx1{,}000000.
Já com três iterações obtemos x praticamente igual a 1 dentro de 10^{-6} (e mais iterações levariam a precisão de máquina). Como sabemos algebraicamente que a raiz é exatamente 1, o método converge para 1.

Passo 7

Refinar a raiz perto de 2 (iterações detalhadas):
  • Iteração 0: x_0=2{,}1. p(2{,}1)=(2{,}1-1)(2{,}1-2)(2{,}1-3)=1{,}1\cdot0{,}1\cdot(-0{,}9)=-0{,}099.
p'(2{,}1)=3(2{,}1)^{2}-12(2{,}1)+11=13{,}23-25{,}2+11=-0{,}97.
Atualização:
x_{1}=2{,}1-\frac{-0{,}099}{-0{,}97}=2{,}1-\frac{0{,}099}{0{,}97}\approx2{,}1-0{,}1020619\approx1{,}9979381.
  • Iteração 1: x_{1}\approx1{,}9979381.
    Aqui é útil usar a linearização próxima de 2: como p(x)=(x-2)\cdot(x-1)(x-3) e (x-1)(x-3) vale -1 em x=2, em torno de 2 temos p(x)\approx-(x-2).
    Portanto p(x_{1})\approx- (x_{1}-2)\approx-(-0{,}0020619)=0{,}0020619.Calculamos também p'(x_{1})\approx-0{,}9999873 (próximo de -1).
    Atualização: x_{2}=x_{1}-\frac{p(x_{1})}{p'(x_{1})}\approx1{,}9979381-\frac{0{,}0020619}{-0{,}9999873}\approx1{,}9979381+0{,}0020619\approx2{,}0000000\ldots
Com duas iterações já ficamos na ordem de 10^{-8} de 2. Como sabemos algebraicamente a raiz é exatamente 2, Newton converge rapidamente.

Passo 8

Refinar a raiz perto de 3 (iterações detalhadas; simetria com a raiz 1):
  • Iteração 0: x_0=3{,}1. p(3{,}1)=(3{,}1-1)(3{,}1-2)(3{,}1-3)=2{,}1\cdot1{,}1\cdot0{,}1=0{,}231.
p'(3{,}1)=3(3{,}1)^{2}-12(3{,}1)+11=28{,}83-37{,}2+11=2{,}63.
Atualização:
x_{1}=3{,}1-\frac{0{,}231}{2{,}63}\approx3{,}1-0{,}087832\approx3{,}012168.
  • Iteração 1: x_{1}\approx3{,}012168. p(x_{1})\approx(x_{1}-1)(x_{1}-2)(x_{1}-3)\approx0{,}012168\cdot1{,}012168\cdot0{,}012168\approx0{,}0243358
p'(x_{1})\approx2{,}07345
x_{2}=x_{1}-\frac{p(x_{1})}{p'(x_{1})}\approx3{,}012168-\frac{0{,}0243358}{2{,}07345}\approx2{,}999570.
  • Iteração 2: x_{2}\approx2{,}999570. p(x_{2})\approx(x_{2}-3)(\cdots)\approx(-0{,}000430)\cdot(\cdots)\approx-0{,}000860
p'(x_{2})\approx-? \text{ (cálculo dá cerca de }2{,}00258\text{)}áá
x_{3}\approx2{,}999570-\frac{-0{,}000860}{2{,}00258}\approx3{,}000000.
Também aqui, em poucas iterações chegamos muito perto de 3; a raiz é exatamente 3.

Passo 9

Conclusão pedagógica e observações:
  • Isolamento: as raízes reais são exatamente 1,2,3. Isso foi obtido testando candidatos racionais e confirmando a fatoração p(x)=(x-1)(x-2)(x-3).
  • Newton–Raphson: demonstrado passo a passo com palpites iniciais simples (0{,}9,2{,}1,3{,}1). O método converge muito rápido (convergência quadrática) quando a raiz é simples e o palpite está razoavelmente próximo.
  • Como as raízes são exatas inteiras, o refinamento numérico leva às mesmas raízes (até erros numéricos muito pequenos). Newton é útil quando as raízes não são imediatamente óbvias ou quando se quer alta precisão numérica.

Resposta

x=1{,}000000000
x=2{,}000000000
x=3{,}000000000

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