Isolar as raízes reais de
e refinar cada uma delas por Newton-Raphson.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas aplicadas ao polinômio
- Isolar as raízes reais (ou seja, encontrar intervalos ou valores onde estão as raízes reais).
- Refinar cada raiz real usando o método de Newton–Raphson.
Informações dadas:
- O polinômio explícito
está acima. - Não há outras informações adicionais (vamos assumir que podemos testar raízes racionais e usar derivada).
Passo 2
Primeiro passo prático: procurar raízes racionais (teste de raízes racionais). Os divisores de termo independente
são
. Vamos testar
(os candidatos mais prováveis).
Calcular
,
e
:
Como
, já encontramos três raízes:
,
e
. Isso isola as raízes reais (cada uma é um ponto isolado).
Passo 3
Fatoração do polinômio a partir das raízes encontradas (mostra que não há outras raízes reais):
Como são raízes, o polinômio se fatoriza como
Como
Podemos verificar expandindo: primeiro
e então
, que bate com
. Portanto as únicas raízes (reais) são
(cada uma é simples).
Passo 4
Apresentação do método de Newton–Raphson (a “aula”):
- Ideia: dado um palpite inicial
próximo de uma raiz simples, melhorar o palpite por
- Aqui
é a derivada de , que indica a inclinação da curva no ponto . Para nosso ,
- Interpretação: a fórmula usa a reta tangente a
em ; a interseção dessa reta com o eixo é o próximo palpite . - Critério de parada prático: parar quando
para uma tolerância pequena (por exemplo ) ou quando for muito pequeno. - Observação útil: como já sabemos que
, para avaliar é muito fácil computar o produto em vez de expandir.
Passo 5
Escolha de palpites iniciais (simples e próximos de cada raiz):
- Para a raiz
: escolho (um palpite à esquerda, simples). - Para a raiz
: escolho (um palpite ligeiramente à direita). - Para a raiz
: escolho .
Essas escolhas são intuitivas: começam perto das raízes inteiras e a aritmética das avaliações fica simples.
Passo 6
Refinar a raiz perto de
(iterações detalhadas):
- Iteração 0:
.
Calculare :
Aplicando Newton:
-
Iteração 1:
.
Avaliando com o produto (mais simples):Derivada:Atualização: -
Iteração 2:
.
Já com três iterações obtemos
praticamente igual a
dentro de
(e mais iterações levariam a precisão de máquina). Como sabemos algebraicamente que a raiz é exatamente
, o método converge para
.
Passo 7
Refinar a raiz perto de
(iterações detalhadas):
- Iteração 0:
.
Atualização:
- Iteração 1:
.
Aqui é útil usar a linearização próxima de: como e vale em , em torno de temos .
PortantoCalculamos também (próximo de ).
Atualização:
Com duas iterações já ficamos na ordem de
de
. Como sabemos algebraicamente a raiz é exatamente
, Newton converge rapidamente.
Passo 8
Refinar a raiz perto de
(iterações detalhadas; simetria com a raiz
):
- Iteração 0:
.
Atualização:
- Iteração 1:
.
- Iteração 2:
.
Também aqui, em poucas iterações chegamos muito perto de
; a raiz é exatamente
.
Passo 9
Conclusão pedagógica e observações:
- Isolamento: as raízes reais são exatamente
. Isso foi obtido testando candidatos racionais e confirmando a fatoração . - Newton–Raphson: demonstrado passo a passo com palpites iniciais simples
. O método converge muito rápido (convergência quadrática) quando a raiz é simples e o palpite está razoavelmente próximo. - Como as raízes são exatas inteiras, o refinamento numérico leva às mesmas raízes (até erros numéricos muito pequenos). Newton é útil quando as raízes não são imediatamente óbvias ou quando se quer alta precisão numérica.