Um isomorfismo dos espaços vetoriais V em W é uma aplicação linear T: V \rightarrow W que é bijetora. Dizemos que dois espaços vetoriais V e W são isomorfos quando existe algum isomorfismo T: V \rightarrow W.
Prove que o espaço \mathbb{R}^{2} é isomorfo ao espaço
U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=0\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O espaço \mathbb{R}^{2} (vetores (x,y) com x,y\in\mathbb{R}).
  • O subespaço U de \mathbb{R}^{3} definido por
U=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z=0\right\}.
O que se pede: provar que \mathbb{R}^{2} é isomorfo a U; ou seja, mostrar que existe uma aplicação linear bijetora T:\mathbb{R}^{2}\to U.

Passo 2

Sugestão natural de aplicação: associar a cada par (x,y)\in\mathbb{R}^{2} o triplo (x,y,0)\in U. Defino então
T:\mathbb{R}^{2}\longrightarrow U,\qquad T(x,y)=(x,y,0).
Esta é a candidata a isomorfismo. Vou verificar que T é linear e bijetora.

Passo 3

Definição usada: uma aplicação T é linear se, para quaisquer vetores u,v e escalar \lambda,
T(u+v)=T(u)+T(v) \qquad\text{e}\qquad T(\lambda u)=\lambda T(u).
Sejam u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2) em \mathbb{R}^{2}. Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Aplicando T,
T(u+v)=\bigl(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;0\bigr).
Por outro lado,
T(u)=(x_1,y_1,0),\qquad T(v)=(x_2,y_2,0),
e
T(u)+T(v)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;0).
Portanto T(u+v)=T(u)+T(v).
Para escalares, seja \lambda\in\mathbb{R}. Tem-se
\lambda u=(\lambda x_1,\;\lambda y_1),
logo
T(\lambda u)=(\lambda x_1,\;\lambda y_1,\;0)=\lambda(x_1,y_1,0)=\lambda T(u).
Concluímos que T é linear.

Passo 4

Provar injetividade: usar o núcleo (kernel). Definição: o núcleo de T é
\ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^{2}\mid T(v)=0\},
onde 0 é o vetor nulo em \mathbb{R}^{3}, isto é (0,0,0). Se T(x,y)=(0,0,0) então (x,y,0)=(0,0,0), daí x=0 e y=0. Logo
\ker(T)=\{(0,0)\}.
Para uma aplicação linear, ter \ker(T)=\{0\} é equivalente a ser injetora. Portanto T é injetora.
(Explicação curta: se T(u)=T(v) então T(u-v)=0, logo u-v=0 e u=v.)

Passo 5

Provar sobrejetividade: pegar um elemento arbitrário de U. Seja (a,b,0)\in U. Então o par (a,b)\in\mathbb{R}^{2} satisfaz
T(a,b)=(a,b,0).
Portanto todo elemento de U tem um antecedente em \mathbb{R}^{2}, isto é T é sobrejetora.

Passo 6

Como T é linear, injetora e sobrejetora, segue que T é bijetora e linear — portanto um isomorfismo entre \mathbb{R}^{2} e U.
Uma forma alternativa e igualmente clara é exibir a inversa explícita S:U\to\mathbb{R}^{2} dada por
S(x,y,0)=(x,y),
verificando que S é linear e que S\circ T=\mathrm{id}_{\mathbb{R}^{2}} e T\circ S=\mathrm{id}_{U}, o que confirma que T é bijetora com inversa linear.

Passo 7

Interpretação geométrica rápida e motivadora: U é simplesmente o plano xy-no-espaço \mathbb{R}^{3} (o plano z=0). A aplicação T pega um vetor no plano coordenado \mathbb{R}^{2} e o posiciona no plano z=0 em \mathbb{R}^{3} sem alterar as coordenadas x e y. Faz sentido que sejam “o mesmo” espaço vetorial em termos de estrutura linear — isto é a razão prática do isomorfismo.

Resposta

A aplicação T:\mathbb{R}^{2}\to U definida por T(x,y)=(x,y,0) é um isomorfismo (linear e bijetora).
Sua inversa é T^{-1}:U\to\mathbb{R}^{2}, T^{-1}(x,y,0)=(x,y).

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