Um isomorfismo dos espaços vetoriais
em
é uma aplicação linear
que é bijetora. Dizemos que dois espaços vetoriais
e
são isomorfos quando existe algum isomorfismo
.
Prove que o espaço
é isomorfo ao espaço
Prove que o espaço
Passo 1
O enunciado nos dá:
- O espaço
(vetores com ). - O subespaço
de definido por
O que se pede: provar que
é isomorfo a
; ou seja, mostrar que existe uma aplicação linear bijetora
.
Passo 2
Sugestão natural de aplicação: associar a cada par
o triplo
. Defino então
Esta é a candidata a isomorfismo. Vou verificar que
é linear e bijetora.
Passo 3
Definição usada: uma aplicação
é linear se, para quaisquer vetores
e escalar
,
Sejam
e
em
. Então
Aplicando
,
Por outro lado,
e
Portanto
.
Para escalares, seja
. Tem-se
logo
Concluímos que
é linear.
Passo 4
Provar injetividade: usar o núcleo (kernel). Definição: o núcleo de
é
onde
é o vetor nulo em
, isto é
. Se
então
, daí
e
. Logo
Para uma aplicação linear, ter
é equivalente a ser injetora. Portanto
é injetora.
(Explicação curta: se
então
, logo
e
.)
Passo 5
Provar sobrejetividade: pegar um elemento arbitrário de
. Seja
. Então o par
satisfaz
Portanto todo elemento de
tem um antecedente em
, isto é
é sobrejetora.
Passo 6
Como
é linear, injetora e sobrejetora, segue que
é bijetora e linear — portanto um isomorfismo entre
e
.
Uma forma alternativa e igualmente clara é exibir a inversa explícita
dada por
verificando que
é linear e que
e
, o que confirma que
é bijetora com inversa linear.
Passo 7
Interpretação geométrica rápida e motivadora:
é simplesmente o plano
-no-espaço
(o plano
). A aplicação
pega um vetor no plano coordenado
e o posiciona no plano
em
sem alterar as coordenadas
e
. Faz sentido que sejam “o mesmo” espaço vetorial em termos de estrutura linear — isto é a razão prática do isomorfismo.
Resposta
A aplicação
definida por
é um isomorfismo (linear e bijetora).
Sua inversa é ,
.
Sua inversa é