Um isomorfismo dos espaços vetoriais V em W é uma aplicação linear T: V \rightarrow W que é bijetora. Dizemos que dois espaços vetoriais V e W são isomorfos quando existe algum isomorfismo T: V \rightarrow W.
Mostre que a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}) dada por
T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}+x_{2} X+x_{3} X^{2}
é um isomorfismo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \to P_{2}(\mathbb{R}) dada por
T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}+x_{2}X+x_{3}X^{2}
é um isomorfismo. Informações e perguntas dadas:
  • Domínio: \mathbb{R}^{3}.
  • Contradomínio: P_{2}(\mathbb{R}) (o espaço dos polinômios reais de grau ≤ 2).
  • A aplicação T é explicitamente fornecida.
  • Pedido: provar que T é um isomorfismo (isto é, que T é linear e bijetora).

Passo 2

Relembrando o que precisamos mostrar (sem resolver ainda): para T ser um isomorfismo devemos provar que T é linear e que é bijetora (injeção + sobrejeção). Vou primeiro verificar a linearidade diretamente.
Definição útil (em palavras simples): T é linear se para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e escalar \lambda\in\mathbb{R} vale
T(u+v)=T(u)+T(v) \qquad\text{e}\qquad T(\lambda u)=\lambda T(u).

Passo 3

Verificação da linearidade por cálculo direto. Tome
u=(x_{1},x_{2},x_{3}),\qquad v=(y_{1},y_{2},y_{3}).
Então
u+v=(x_{1}+y_{1},\,x_{2}+y_{2},\,x_{3}+y_{3})
e, aplicando T,
T(u+v)=(x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})X+(x_{3}+y_{3})X^{2}.
Por outro lado,
T(u)+T(v)=\bigl(x_{1}+x_{2}X+x_{3}X^{2}\bigr)+\bigl(y_{1}+y_{2}X+y_{3}X^{2}\bigr),
e somando os polinômios obtemos exatamente
x_{1}+y_{1}+(x_{2}+y_{2})X+(x_{3}+y_{3})X^{2},
que coincide com T(u+v). Portanto T(u+v)=T(u)+T(v).
Agora tome \lambda\in\mathbb{R}. Tem-se
\lambda u=(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\lambda x_{3}),
logo
T(\lambda u)=\lambda x_{1}+\lambda x_{2}X+\lambda x_{3}X^{2}=\lambda\bigl(x_{1}+x_{2}X+x_{3}X^{2}\bigr)=\lambda T(u).
Assim T preserva soma e multiplicação por escalar, logo T é linear.

Passo 4

Mostrar que T é injetora. Uma forma padrão é estudar o núcleo:
\ker T=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in\mathbb{R}^{3}\mid T(x_{1},x_{2},x_{3})=0\},
onde 0 no lado direito é o polinômio nulo 0+0X+0X^{2}.
Se (x_{1},x_{2},x_{3})\in\ker T, então
T(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}+x_{2}X+x_{3}X^{2}=0.
Dois polinômios iguais significam que todos os coeficientes correspondentes são iguais, logo
x_{1}=0,\qquad x_{2}=0,\qquad x_{3}=0.
Portanto \ker T=\{(0,0,0)\}. Como o núcleo contém apenas o vetor nulo, concluímos que T é injetora.
(Comentário didático: para uma transformação linear, ter núcleo trivial é equivalente a ser injetora. Aqui usamos a unicidade dos coeficientes de um polinômio.)

Passo 5

Mostrar que T é sobrejetora. Existem duas maneiras simples e equivalentes; apresento as duas, porque ambas são úteis na prova e na prática de prova em prova:
Método A — construindo pré-imagem explicitamente. Tome um polinômio arbitrário em P_{2}(\mathbb{R}),
p(X)=a+bX+cX^{2},
com a,b,c\in\mathbb{R}. Então escolhe-se o vetor (a,b,c)\in\mathbb{R}^{3} e verifica-se
T(a,b,c)=a+bX+cX^{2}=p(X).
Assim para qualquer p\in P_{2}(\mathbb{R}) existe um vetor em \mathbb{R}^{3} mapeado para p; logo T é sobrejetora.
Método B — argumento por dimensão (opcional, mas conceitual): \dim(\mathbb{R}^{3})=3 e \dim(P_{2}(\mathbb{R}))=3. Para uma transformação linear entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita, injetividade implica sobrejetividade. Como já mostramos que T é linear e injetora, segue que T é sobrejetora. (O Método A acima é mais direto e construtivo.)

Passo 6

Exibir o inverso linear explicitamente (uma forma muito direta de ver o isomorfismo). Defina S: P_{2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{3} por
S\bigl(a+bX+cX^{2}\bigr)=(a,b,c).
Verifica-se facilmente que S é linear e que
S\bigl(T(x_{1},x_{2},x_{3})\bigr)=S\bigl(x_{1}+x_{2}X+x_{3}X^{2}\bigr)=(x_{1},x_{2},x_{3})
e
T\bigl(S(a+bX+cX^{2})\bigr)=T(a,b,c)=a+bX+cX^{2}.
Portanto S é a inversa de T, mostrando que T é bijetora e que sua inversa é linear. Logo T é um isomorfismo.

Resposta

T é um isomorfismo.\n
T^{-1}(a+bX+cX^{2})=(a,b,c)

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