Um isomorfismo dos espaços vetoriais
em
é uma aplicação linear
que é bijetora. Dizemos que dois espaços vetoriais
e
são isomorfos quando existe algum isomorfismo
.
Mostre que a transformação linear
dada por
é um isomorfismo.
Mostre que a transformação linear
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a transformação linear
dada por
é um isomorfismo. Informações e perguntas dadas:
- Domínio:
. - Contradomínio:
(o espaço dos polinômios reais de grau ≤ ). - A aplicação
é explicitamente fornecida. - Pedido: provar que
é um isomorfismo (isto é, que é linear e bijetora).
Passo 2
Relembrando o que precisamos mostrar (sem resolver ainda): para
ser um isomorfismo devemos provar que
é linear e que é bijetora (injeção + sobrejeção). Vou primeiro verificar a linearidade diretamente.
Definição útil (em palavras simples):
é linear se para quaisquer vetores
e escalar
vale
Passo 3
Verificação da linearidade por cálculo direto. Tome
Então
e, aplicando
,
Por outro lado,
e somando os polinômios obtemos exatamente
que coincide com
. Portanto
.
Agora tome
. Tem-se
logo
Assim
preserva soma e multiplicação por escalar, logo
é linear.
Passo 4
Mostrar que
é injetora. Uma forma padrão é estudar o núcleo:
onde
no lado direito é o polinômio nulo
.
Se
, então
Dois polinômios iguais significam que todos os coeficientes correspondentes são iguais, logo
Portanto
. Como o núcleo contém apenas o vetor nulo, concluímos que
é injetora.
(Comentário didático: para uma transformação linear, ter núcleo trivial é equivalente a ser injetora. Aqui usamos a unicidade dos coeficientes de um polinômio.)
Passo 5
Mostrar que
é sobrejetora. Existem duas maneiras simples e equivalentes; apresento as duas, porque ambas são úteis na prova e na prática de prova em prova:
Método A — construindo pré-imagem explicitamente. Tome um polinômio arbitrário em
,
com
. Então escolhe-se o vetor
e verifica-se
Assim para qualquer
existe um vetor em
mapeado para
; logo
é sobrejetora.
Método B — argumento por dimensão (opcional, mas conceitual):
e
. Para uma transformação linear entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita, injetividade implica sobrejetividade. Como já mostramos que
é linear e injetora, segue que
é sobrejetora. (O Método A acima é mais direto e construtivo.)
Passo 6
Exibir o inverso linear explicitamente (uma forma muito direta de ver o isomorfismo). Defina
por
Verifica-se facilmente que
é linear e que
e
Portanto
é a inversa de
, mostrando que
é bijetora e que sua inversa é linear. Logo
é um isomorfismo.