Nos itens abaixo, use um sistema de coordenadas para representar graficamente os vetores
u=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 1\end{array}\right], \quad v=\left[\begin{array}{c}3 \\\\ -1\end{array}\right], \quad T(u) \quad \text { e } \quad T(v) .
Faça uma descrição geométrica do efeito da aplicação de T nos vetores de \mathbb{R}^{2}.
T(x)=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 0 & 3\end{array}\right] x

Passo 1

O enunciado dá os vetores e a transformação linear e pede duas coisas:
  • Representar graficamente, num sistema de coordenadas, os vetores \displaystyle u=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}, \displaystyle v=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\end{pmatrix}, \displaystyle T(u) e \displaystyle T(v).
  • Fazer uma descrição geométrica do efeito de T nos vetores de \mathbb{R}^2.
Informações fornecidas:
  • \displaystyle T(x)=\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}x (ou seja, T é a multiplicação por uma matriz diagonal com entradas 3).
  • Os vetores originais são \displaystyle u=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} e \displaystyle v=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Calcular explicitamente T(u) e T(v) usando multiplicação de matriz por vetor.
Explicando a fórmula: multiplicar uma matriz A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\[4pt]a_{21}&a_{22}\end{pmatrix} por um vetor x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix}
A x=\begin{pmatrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2\\[4pt]a_{21}x_1+a_{22}x_2\end{pmatrix},
onde cada entrada do resultado é uma combinação linear das entradas de x.
Aplicando a isso:
T(u)=\begin{pmatrix}3&0\\[4pt]0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\cdot 2 + 0\cdot 1\\[4pt]0\cdot 2 + 3\cdot 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6\\[4pt]3\end{pmatrix}.
T(v)=\begin{pmatrix}3&0\\[4pt]0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\cdot 3 + 0\cdot(-1)\\[4pt]0\cdot 3 + 3\cdot(-1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}9\\[4pt]-3\end{pmatrix}.]

Passo 3

Como representar graficamente (passo a passo prático para desenhar no caderno ou prova):
  1. Desenhe um sistema de eixos x-horizontal e y-vertical com origem O=(0,0).
  2. Para \displaystyle u=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}: marque o ponto (2,1) (2 unidades à direita, 1 para cima) e desenhe uma seta do ponto O até (2,1). Rotule a seta por u.
  3. Para \displaystyle v=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\end{pmatrix}: marque o ponto (3,-1) (3 à direita, 1 para baixo) e desenhe a seta O\to(3,-1). Rotule por v.
  4. Para \displaystyle T(u)=\begin{pmatrix}6\\[4pt]3\end{pmatrix}: marque (6,3) (3 vezes maior que (2,1) em cada coordenada) e desenhe a seta O\to(6,3). Rotule por T(u).
  5. Para \displaystyle T(v)=\begin{pmatrix}9\\[4pt]-3\end{pmatrix}: marque (9,-3) e desenhe a seta O\to(9,-3). Rotule por T(v).
    Observação prática: escolha uma escala compatível (por exemplo 1 unidade = 1 quadradinho) para caber (9,-3) no papel; se necessário use 1 unidade = 0,5 cm etc.]

Passo 4

Mostrar que T multiplica comprimentos por 3 — cálculo de normas (comprimento de vetores).
Fórmula do comprimento (norma euclidiana) de um vetor \displaystyle x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix}:
\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2},
onde \|x\| é a distância de O até o ponto (x_1,x_2).
Calcule para u e T(u):
\|u\|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
\|T(u)\|=\left\|\begin{pmatrix}6\\[4pt]3\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}=3\|u\|.
Para v e T(v):
\|v\|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10},
\|T(v)\|=\sqrt{9^2+(-3)^2}=\sqrt{81+9}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}=3\|v\|.
Conclusão deste passo: a norma de T(x) é 3 vezes a norma de x para esses vetores — isso ilustra que T multiplica comprimentos por 3.]

Passo 5

Mostrar que T preserva direções e ângulos (ou seja, é uma homotetia central com razão 3).
Primeiro explique como calcular o cosseno do ângulo entre dois vetores a e b:
\cos\theta=\dfrac{a\cdot b}{\|a\|\,\|b\|},
onde a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2 é o produto escalar.
Calcule o produto escalar u\cdot v:
u\cdot v = 2\cdot 3 + 1\cdot(-1) = 6-1=5.
Produto escalar de T(u) e T(v):
T(u)\cdot T(v) = \begin{pmatrix}6\\[4pt]3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}9\\[4pt]-3\end{pmatrix}=6\cdot 9 + 3\cdot(-3)=54-9=45.
Note que T(u)\cdot T(v)=9\,(u\cdot v) porque T(u)=3u e T(v)=3v, logo (3u)\cdot(3v)=9(u\cdot v).
Agora calcule \cos\theta antes e depois:
\cos\theta_{uv}=\dfrac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}=\dfrac{5}{\sqrt{5}\,\sqrt{10}}=\dfrac{5}{\sqrt{50}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
\cos\theta_{T(u)T(v)}=\dfrac{T(u)\cdot T(v)}{\|T(u)\|\,\|T(v)\|} =\dfrac{9(u\cdot v)}{(3\|u\|)(3\|v\|)} =\dfrac{9(u\cdot v)}{9\|u\|\,\|v\|} =\dfrac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}=\cos\theta_{uv}.
Portanto o ângulo entre u e v é o mesmo que o ângulo entre T(u) e T(v). Assim T preserva ângulos (é conformal neste caso de escala positiva).]

Passo 6

Interpretação geométrica geral e propriedades importantes (o que decorar para a prova):
  • A matriz \begin{pmatrix}3&0\\[4pt]0&3\end{pmatrix} é igual a 3 vezes a matriz identidade I. Logo T(x)=3x para todo x\in\mathbb{R}^2.
  • Geometricamente, T é uma homotetia centrada na origem com razão 3: cada vetor é levado para o mesmo sentido e direção, mas com comprimento multiplicado por 3.
  • Consequências úteis:
    • Todas as retas que passam pela origem são preservadas (os pontos sobre a mesma reta através da origem permanecem na mesma reta).
    • O ângulo entre quaisquer dois vetores é preservado.
    • Não há rotação nem reflexão (porque o fator é positivo): só há dilatação uniforme.
    • Todo vetor não-nulo é autovetor de T com autovalor 3 (isto é, T(x)=3x).]

Passo 7

Dicas rápidas para fazer isto numa prova sem perder tempo:
  • Calcule T(u) e T(v) diretamente: aqui deu \displaystyle T(u)=\begin{pmatrix}6\\[4pt]3\end{pmatrix} e \displaystyle T(v)=\begin{pmatrix}9\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
  • Desenhe os vetores originais e os redimensionados a partir da origem; ligue u a T(u) por uma linha para mostrar a relação (mesma direção, 3 vezes maior).
  • Em poucas linhas, comente: “ T é homotetia de razão 3 centrada em O; preserva direções e ângulos, multiplica longitudes por 3.” Isso resolve a parte descritiva de forma direta.]

Resposta

\displaystyle T(u)=\begin{pmatrix}6\\[4pt]3\end{pmatrix}
\displaystyle T(v)=\begin{pmatrix}9\\[4pt]-3\end{pmatrix}
Geometricamente: T é uma homotetia (dilatação) centrada na origem de razão 3; multiplica todos os comprimentos por 3, preserva direções e ângulos e não inverte a orientação.]

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