Faça uma descrição geométrica do efeito da aplicação de T nos vetores de \mathbb{R}^{2}. T(x)=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 0 & 3\end{array}\right] x
Passo 1
O enunciado dá os vetores e a transformação linear e pede duas coisas:
Representar graficamente, num sistema de coordenadas, os vetores \displaystyle u=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}, \displaystyle v=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\end{pmatrix}, \displaystyle T(u) e \displaystyle T(v).
Fazer uma descrição geométrica do efeito de T nos vetores de \mathbb{R}^2.
Informações fornecidas:
\displaystyle T(x)=\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}x (ou seja, T é a multiplicação por uma matriz diagonal com entradas 3).
Os vetores originais são \displaystyle u=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} e \displaystyle v=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]
Passo 2
Calcular explicitamente T(u) e T(v) usando multiplicação de matriz por vetor.
Explicando a fórmula: multiplicar uma matriz A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\[4pt]a_{21}&a_{22}\end{pmatrix} por um vetor x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix} dá
A x=\begin{pmatrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2\\[4pt]a_{21}x_1+a_{22}x_2\end{pmatrix},
onde cada entrada do resultado é uma combinação linear das entradas de x.
Como representar graficamente (passo a passo prático para desenhar no caderno ou prova):
Desenhe um sistema de eixos x-horizontal e y-vertical com origem O=(0,0).
Para \displaystyle u=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}: marque o ponto (2,1) (2 unidades à direita, 1 para cima) e desenhe uma seta do ponto O até (2,1). Rotule a seta por u.
Para \displaystyle v=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\end{pmatrix}: marque o ponto (3,-1) (3 à direita, 1 para baixo) e desenhe a seta O\to(3,-1). Rotule por v.
Para \displaystyle T(u)=\begin{pmatrix}6\\[4pt]3\end{pmatrix}: marque (6,3) (3 vezes maior que (2,1) em cada coordenada) e desenhe a seta O\to(6,3). Rotule por T(u).
Para \displaystyle T(v)=\begin{pmatrix}9\\[4pt]-3\end{pmatrix}: marque (9,-3) e desenhe a seta O\to(9,-3). Rotule por T(v).
Observação prática: escolha uma escala compatível (por exemplo 1 unidade = 1 quadradinho) para caber (9,-3) no papel; se necessário use 1 unidade = 0,5 cm etc.]
Passo 4
Mostrar que T multiplica comprimentos por 3 — cálculo de normas (comprimento de vetores).
Fórmula do comprimento (norma euclidiana) de um vetor \displaystyle x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix}:
\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2},
onde \|x\| é a distância de O até o ponto (x_1,x_2).
Portanto o ângulo entre u e v é o mesmo que o ângulo entre T(u) e T(v). Assim T preserva ângulos (é conformal neste caso de escala positiva).]
Passo 6
Interpretação geométrica geral e propriedades importantes (o que decorar para a prova):
A matriz \begin{pmatrix}3&0\\[4pt]0&3\end{pmatrix} é igual a 3 vezes a matriz identidade I. Logo T(x)=3x para todo x\in\mathbb{R}^2.
Geometricamente, T é uma homotetia centrada na origem com razão 3: cada vetor é levado para o mesmo sentido e direção, mas com comprimento multiplicado por 3.
Consequências úteis:
Todas as retas que passam pela origem são preservadas (os pontos sobre a mesma reta através da origem permanecem na mesma reta).
O ângulo entre quaisquer dois vetores é preservado.
Não há rotação nem reflexão (porque o fator é positivo): só há dilatação uniforme.
Todo vetor não-nulo é autovetor de T com autovalor 3 (isto é, T(x)=3x).]
Passo 7
Dicas rápidas para fazer isto numa prova sem perder tempo:
Calcule T(u) e T(v) diretamente: aqui deu \displaystyle T(u)=\begin{pmatrix}6\\[4pt]3\end{pmatrix} e \displaystyle T(v)=\begin{pmatrix}9\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
Desenhe os vetores originais e os redimensionados a partir da origem; ligue u a T(u) por uma linha para mostrar a relação (mesma direção, 3 vezes maior).
Em poucas linhas, comente: “T é homotetia de razão 3 centrada em O; preserva direções e ângulos, multiplica longitudes por 3.” Isso resolve a parte descritiva de forma direta.]
\displaystyle T(v)=\begin{pmatrix}9\\[4pt]-3\end{pmatrix}
Geometricamente: T é uma homotetia (dilatação) centrada na origem de razão 3; multiplica todos os comprimentos por 3, preserva direções e ângulos e não inverte a orientação.]