Nos itens abaixo, use um sistema de coordenadas para representar graficamente os vetores
u=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 1\end{array}\right], \quad v=\left[\begin{array}{c}3 \\\\ -1\end{array}\right], \quad T(u) \quad \text { e } \quad T(v) .
Faça uma descrição geométrica do efeito da aplicação de T nos vetores de \mathbb{R}^{2}.
T(x)=\left[\begin{array}{cc}0,5 & 0 \\\\ 0 & 0,5\end{array}\right] x

Passo 1

O enunciado dá os vetores e a transformação linear e pede duas coisas:
  • Representar graficamente em um sistema de coordenadas os vetores \displaystyle u=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}, \displaystyle v=\begin{pmatrix}3\\[2pt]-1\end{pmatrix}, \displaystyle T(u) e \displaystyle T(v).
  • Fazer uma descrição geométrica do efeito da aplicação T nos vetores de \mathbb{R}^{2}.
Informações fornecidas:
  • A transformação é \displaystyle T(x)=\begin{pmatrix}0,5 & 0\\[2pt]0 & 0,5\end{pmatrix}x.
  • Os vetores a transformar são \displaystyle u e \displaystyle v acima.]

Passo 2

Calcular \displaystyle T(u) passo a passo, multiplicando a matriz por \displaystyle u.
A multiplicação linha por coluna dá:
T(u)=\begin{pmatrix}0,5 & 0\\[2pt]0 & 0,5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,5\cdot 2 + 0\cdot 1\\[6pt] 0\cdot 2 + 0,5\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[2pt]0,5\end{pmatrix}.
Explanação didática: cada linha da matriz combina com a coluna do vetor; o primeiro componente é 0,5 vezes o primeiro componente de u mais 0 vezes o segundo, e o segundo componente é 0 vezes o primeiro mais 0,5 vezes o segundo.]

Passo 3

Calcular \displaystyle T(v) do mesmo modo.
T(v)=\begin{pmatrix}0,5 & 0\\[2pt]0 & 0,5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\[2pt]-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,5\cdot 3 + 0\cdot(-1)\\[6pt] 0\cdot 3 + 0,5\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1,5\\[2pt]-0,5\end{pmatrix}.
Passo a passo: multiplica-se cada componente de v por 0,5 (porque os termos fora da diagonal são zero).]

Passo 4

Identificar a forma da matriz e o seu efeito em qualquer vetor \displaystyle x=\begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\end{pmatrix}.
Observa-se que
\begin{pmatrix}0,5 & 0\\[2pt]0 & 0,5\end{pmatrix}=0,5\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}=0,5I,
logo, para todo \displaystyle x,
T(x)=0,5I\;x=0,5x.
Interpretação clara: T multiplica cada vetor pelo escalar 0,5. Em linguagem geométrica: T é uma dilatação (homotetia) de centro na origem com razão 0,5.]

Passo 5

Instrução prática para representar graficamente os vetores (como desenhar no caderno/prova) e verificação da proporcionalidade:
Como plotar:
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Para \displaystyle u: marque o ponto (2,1) e desenhe a seta do ponto (0,0) até (2,1).
  • Para \displaystyle T(u): marque o ponto (1,0,5) e desenhe a seta do (0,0) até (1,0,5).
  • Para \displaystyle v: marque o ponto (3,-1) e desenhe a seta do (0,0) até (3,-1).
  • Para \displaystyle T(v): marque o ponto (1,5,-0,5) e desenhe a seta do (0,0) até (1,5,-0,5).
Observação importante (proporcionalidade): note que \displaystyle T(u)=0,5u e \displaystyle T(v)=0,5v. Portanto T(u) está sobre a mesma reta que passa pela origem e por u (mesma direção), e análogo para v.

Passo 6

Verificar que comprimentos são reduzidos pela metade e que direções são preservadas (mostre contas para usar na prova).
Norma de \displaystyle u:
\|u\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
Norma de \displaystyle T(u):
\|T(u)\|=\sqrt{1^{2}+0,5^{2}}=\sqrt{1+0,25}=\sqrt{1,25}=\tfrac{1}{2}\sqrt{5}=\tfrac{1}{2}\|u\|.
Norma de \displaystyle v:
\|v\|=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}.
Norma de \displaystyle T(v):
\|T(v)\|=\sqrt{1,5^{2}+(-0,5)^{2}}=\sqrt{2,25+0,25}=\sqrt{2,5}=\tfrac{1}{2}\sqrt{10}=\tfrac{1}{2}\|v\|.
Conclusão destas contas: o comprimento de cada vetor é reduzido exatamente por um fator 0,5.

Passo 7

Mostrar a propriedade linear e implicação geométrica extra (exemplo com soma):
Calcule \displaystyle u+v e aplique T:
u+v=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\[2pt]-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\[2pt]0\end{pmatrix}.
T(u+v)=0,5\begin{pmatrix}5\\[2pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2,5\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Agora T(u)+T(v):
T(u)+T(v)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0,5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1,5\\[2pt]-0,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2,5\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Isso confirma T(u+v)=T(u)+T(v). Geometricamente, a transformação respeita soma de vetores e multiplicação por escalar (é linear) — e aqui atua simplesmente como “reduzir tudo à metade”.]

Passo 8

Descrição geométrica final (linguagem de prova, curta e clara), com consequências que podem ser usadas na hora da avaliação:
  • T é a homotetia (dilatação) de centro na origem e razão 0,5.
  • Efeito: todo vetor é enviado para um vetor colinear com o original, com mesmo sentido (razão positiva) e comprimento reduzido pela metade.
  • Consequências: ângulos entre vetores são preservados, paralelismo é preservado, a origem é o único ponto fixo, e retas que passam pela origem ficam invariantes (apenas pontos movem-se ao longo delas).
Força aí — na prova, desenhe as setas a partir da origem para (2,1), (1,0,5), (3,-1), (1,5,-0,5) e escreva “homotetia de razão 0,5”. Isso resolve a questão rapidamente.

Resposta

\displaystyle T(u)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0,5\end{pmatrix},\quad T(v)=\begin{pmatrix}1,5\\[2pt]-0,5\end{pmatrix}
T é a homotetia (dilatação) de centro na origem e razão 0,5: encolhe todos os vetores pela metade, preservando direção, ângulo e orientação.]

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