Faça uma descrição geométrica do efeito da aplicação de T nos vetores de \mathbb{R}^{2}. T(x)=\left[\begin{array}{cc}0,5 & 0 \\\\ 0 & 0,5\end{array}\right] x
Passo 1
O enunciado dá os vetores e a transformação linear e pede duas coisas:
Representar graficamente em um sistema de coordenadas os vetores \displaystyle u=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}, \displaystyle v=\begin{pmatrix}3\\[2pt]-1\end{pmatrix}, \displaystyle T(u) e \displaystyle T(v).
Fazer uma descrição geométrica do efeito da aplicação T nos vetores de \mathbb{R}^{2}.
Informações fornecidas:
A transformação é \displaystyle T(x)=\begin{pmatrix}0,5 & 0\\[2pt]0 & 0,5\end{pmatrix}x.
Os vetores a transformar são \displaystyle u e \displaystyle v acima.]
Passo 2
Calcular \displaystyle T(u) passo a passo, multiplicando a matriz por \displaystyle u.
Explanação didática: cada linha da matriz combina com a coluna do vetor; o primeiro componente é 0,5 vezes o primeiro componente de u mais 0 vezes o segundo, e o segundo componente é 0 vezes o primeiro mais 0,5 vezes o segundo.]
Interpretação clara: T multiplica cada vetor pelo escalar 0,5. Em linguagem geométrica: T é uma dilatação (homotetia) de centro na origem com razão 0,5.]
Passo 5
Instrução prática para representar graficamente os vetores (como desenhar no caderno/prova) e verificação da proporcionalidade:
Como plotar:
Desenhe os eixos x e y.
Para \displaystyle u: marque o ponto (2,1) e desenhe a seta do ponto (0,0) até (2,1).
Para \displaystyle T(u): marque o ponto (1,0,5) e desenhe a seta do (0,0) até (1,0,5).
Para \displaystyle v: marque o ponto (3,-1) e desenhe a seta do (0,0) até (3,-1).
Para \displaystyle T(v): marque o ponto (1,5,-0,5) e desenhe a seta do (0,0) até (1,5,-0,5).
Observação importante (proporcionalidade): note que \displaystyle T(u)=0,5u e \displaystyle T(v)=0,5v. Portanto T(u) está sobre a mesma reta que passa pela origem e por u (mesma direção), e análogo para v.
Passo 6
Verificar que comprimentos são reduzidos pela metade e que direções são preservadas (mostre contas para usar na prova).
Isso confirma T(u+v)=T(u)+T(v). Geometricamente, a transformação respeita soma de vetores e multiplicação por escalar (é linear) — e aqui atua simplesmente como “reduzir tudo à metade”.]
Passo 8
Descrição geométrica final (linguagem de prova, curta e clara), com consequências que podem ser usadas na hora da avaliação:
T é a homotetia (dilatação) de centro na origem e razão 0,5.
Efeito: todo vetor é enviado para um vetor colinear com o original, com mesmo sentido (razão positiva) e comprimento reduzido pela metade.
Consequências: ângulos entre vetores são preservados, paralelismo é preservado, a origem é o único ponto fixo, e retas que passam pela origem ficam invariantes (apenas pontos movem-se ao longo delas).
Força aí — na prova, desenhe as setas a partir da origem para (2,1), (1,0,5), (3,-1), (1,5,-0,5) e escreva “homotetia de razão 0,5”. Isso resolve a questão rapidamente.
Resposta
\displaystyle T(u)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0,5\end{pmatrix},\quad T(v)=\begin{pmatrix}1,5\\[2pt]-0,5\end{pmatrix} T é a homotetia (dilatação) de centro na origem e razão 0,5: encolhe todos os vetores pela metade, preservando direção, ângulo e orientação.]