Nos itens abaixo, use um sistema de coordenadas para representar graficamente os vetores
u=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 1\end{array}\right], \quad v=\left[\begin{array}{c}3 \\\\ -1\end{array}\right], \quad T(u) \quad \text { e } \quad T(v) .
Faça uma descrição geométrica do efeito da aplicação de T nos vetores de \mathbb{R}^{2}.
T(x)=\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\\\ 0 & -1\end{array}\right] x

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo abaixo foi dado no enunciado):
  • Vetores dados:
u=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad v=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
  • Transformação linear dada:
T(x)=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}x.
O que é pedido:
  • Representar graficamente, num sistema de coordenadas, os vetores u, v, T(u) e T(v).
  • Fazer uma descrição geométrica do efeito da aplicação de T sobre os vetores de \mathbb{R}^2.]

Passo 2

Como calcular T(u) e T(v). Primeiro lembrar como multiplicar uma matriz 2\times2 por um vetor coluna 2\times1.
Se
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix},
então
Ax=\begin{pmatrix}a x_1 + b x_2\\[4pt]c x_1 + d x_2\end{pmatrix}.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz e x_1,x_2 são as componentes do vetor; a multiplicação combina cada linha da matriz com o vetor coluna fazendo soma de produtos.
No nosso caso a matriz é \begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}. Vamos aplicar a fórmula:
Calcular T(u).
T(u)=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\cdot 2 + 0\cdot 1\\[4pt]0\cdot 2 + (-1)\cdot 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Expliquei cada produto e soma: primeira entrada é -1\cdot2+0\cdot1=-2, segunda é 0\cdot2+(-1)\cdot1=-1.
Calcular T(v).
T(v)=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\cdot 3 + 0\cdot(-1)\\[4pt]0\cdot 3 + (-1)\cdot(-1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Aqui a primeira entrada é -3 e a segunda é 1.]

Passo 3

Como representar graficamente (passo a passo para desenhar na prova, sem calculadora complexa):
  • Desenhe um sistema de eixos coordenados x-horizontal e y-vertical e marque a origem O=(0,0).
  • Marque o ponto final de cada vetor:
    • u em (2,1): a partir da origem vá 2 unidades para a direita e 1 unidade para cima; desenhe uma seta do O até esse ponto e escreva u.
    • v em (3,-1): vá 3 unidades para a direita e 1 unidade para baixo; desenhe a seta e escreva v.
    • T(u) em (-2,-1): vá 2 unidades para a esquerda e 1 para baixo; desenhe a seta e escreva T(u).
    • T(v) em (-3,1): vá 3 unidades para a esquerda e 1 para cima; desenhe a seta e escreva T(v).
  • Observação visível no desenho: cada T(\cdot) é exatamente o ponto contrário ao original (mesma reta passando pela origem, sentidos opostos).

Passo 4

Interpretação geométrica e propriedades — aula curta e intuitiva:
  • A matriz \begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix} é simplesmente -I, onde I é a matriz identidade. Multiplicar por -I significa multiplicar cada componente do vetor por -1. Em símbolos, para qualquer \displaystyle x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix} vale
T(x)=-x=\begin{pmatrix}-x_1\\[4pt]-x_2\end{pmatrix}.
  • Geometricamente, isso envia cada vetor ao seu oposto (antipodal) em relação à origem: o vetor resultante tem mesma direção da reta que passa pela origem e pelo vetor original, mas aponta para o sentido oposto. Equivalente a uma rotação de 180^\circ (ou simetria central em relação à origem).
  • Propriedades úteis a lembrar para a prova:
    • T é linear (porque é dada por multiplicação por matriz).
    • Preserva comprimentos (normas): \|T(x)\|=\|-x\|=\|x\|, logo é uma isometria.
    • Preserva ângulos e produto interno: \langle T(x),T(y)\rangle=\langle -x,-y\rangle=\langle x,y\rangle.
    • Determinante \det(T)=(-1)\cdot(-1)=1, então a orientação é preservada (é uma rotação de 180^\circ, não uma reflexão isolada).
  • Conclusão geométrica simples: T faz uma rotação de 180^\circ em torno da origem (ou, dito de outro modo, leva todo vetor ao seu oposto).]

Resposta

\displaystyle u=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad v=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\end{pmatrix},\quad T(u)=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-1\end{pmatrix},\quad T(v)=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]1\end{pmatrix}
T envia cada vetor ao seu oposto: T(x)=-x, isto é, é a rotação de 180^\circ (simetria central) em torno da origem; preserva normas e ângulos.]

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