Nos itens abaixo, use um sistema de coordenadas para representar graficamente os vetores
u=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 1\end{array}\right], \quad v=\left[\begin{array}{c}3 \\\\ -1\end{array}\right], \quad T(u) \quad \text { e } \quad T(v) .
Faça uma descrição geométrica do efeito da aplicação de T nos vetores de \mathbb{R}^{2}.
T(x)=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right] x

Passo 1

O enunciado dá os vetores e a transformação linear:
u=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad v=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\end{pmatrix}, \qquad T(x)=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}x.
O que pede:
  • Representar graficamente, num sistema de coordenadas, os vetores u, v, T(u) e T(v).
  • Fazer uma descrição geométrica do efeito da aplicação T nos vetores de \mathbb{R}^2.]

Passo 2

Entender como aplicar T a um vetor genérico. Seja x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix}. Multiplicando a matriz por x temos
T(x)=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot x_1+0\cdot x_2\\[4pt]0\cdot x_1+1\cdot x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]x_2\end{pmatrix}.
Explicando passo a passo: a primeira componente do resultado é 0 porque a primeira linha da matriz é (0\;0); a segunda componente do resultado é exatamente x_2 porque a segunda linha é (0\;1). Em palavras simples: T zera a componente x_1 (a componente ao longo do eixo x) e conserva a componente x_2 (a componente ao longo do eixo y).]

Passo 3

Aplicar T ao vetor u. Como u=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}, pela fórmula de cima:
T(u)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Detalhe da conta: primeira componente 0, segunda componente igual a 1 (o segundo componente de u).]

Passo 4

Aplicar T ao vetor v. Como v=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\end{pmatrix}, tem-se
T(v)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Novamente: a primeira componente virou 0; a segunda permaneceu -1.]

Passo 5

Interpretação pela ação sobre a base canônica. Seja e_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} e e_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}. Calcula-se
T(e_1)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad T(e_2)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}=e_2.
Isto mostra duas coisas importantes:
  • O núcleo (kernel) de T é \operatorname{Ker}(T)=\operatorname{span}\{e_1\}=\{(x_1,0)\}: todos os vetores do eixo x vão para o vetor nulo.
  • a imagem (range) de T é \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{e_2\}=\{(0,y)\}: todos os vetores transformados ficam sobre o eixo y.]

Passo 6

Propriedades que ajudam a entender geometricamente:
  • Para qualquer vetor \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix}, T \begin{pmatrix}0\\[4pt]x_2\end{pmatrix}. Isso é exatamente a projeção ortogonal sobre o eixo y no produto interno usual: a diferença entre o vetor original e a imagem é \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]0\end{pmatrix}, que está no eixo x e é ortogonal ao eixo y.
  • A transformação é idempotente: T^2=T. De fato, aplicar T novamente não muda nada se o vetor já está sobre o eixo y.]

Passo 7

Instruções práticas para representar graficamente (passo a passo para desenhar no papel):
  1. Desenhe o plano com eixo horizontal x e eixo vertical y. Marque unidades (por exemplo, 1 unidade por quadradinho).
  2. Plote u=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}: do 0 vá até x=2 e y=1, desenhe uma flecha do origem até (2,1) e escreva u.
  3. Plote v=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\end{pmatrix}: do 0 vá até (3,-1), desenhe a flecha e escreva v.
  4. Plote T(u)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}: isto fica sobre o eixo y em y=1; desenhe a flecha do origem até (0,1) e escreva T(u).
  5. Plote T(v)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix}: idem, no eixo y em y=-1; desenhe a flecha e escreva T(v).
    Observação visual: as imagens T(u) e T(v) estão diretamente “abaixo” ou “acima” dos vetores originais, alinhadas verticalmente (mesmo valor de y), mas recuadas para o eixo y (com x=0).]

Passo 8

Descrição geométrica final, em linguagem simples e motivadora:
  • A transformação T projeta todo o plano \mathbb{R}^2 sobre o eixo y: elimina a componente horizontal e mantém a componente vertical.
  • Geometricamente: o plano é “colapsado” no eixo y; vetores que já estão no eixo y não mudam; vetores no eixo x vão para o zero.
    Você já conseguiu entender: na prova, se vir uma matriz com primeira linha nula e segunda linha (0\;1), saiba que é essa projeção vertical — ótimo para reconhecer rapidamente o efeito sem cálculo pesado!

Resposta

u=(2,1),\quad v=(3,-1),\quad T(u)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad T(v)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix}
T é a projeção ortogonal de \mathbb{R}^2 sobre o eixo y; \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(0,1)\} e \operatorname{Ker}(T)=\operatorname{span}\{(1,0)\}.]

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