Em um laboratório de controle de qualidade, foi medida a viscosidade de um fluido em cinco amostras, cujos dados foram: 8,18 ; 8,45 ; 8,29 ; 8,69 e 7,32 P a \cdot s. Determine o intervalo de confiança para a viscosidade média com um coeficiente de confiança de 97 \%. Interprete. Resposta parcial: \bar{x}=8,1860 ; s=0,5207 e [7,4180; 8,9540]

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:
  • Pede: determinar o intervalo de confiança para a viscosidade média com coeficiente de confiança de 97\% e interpretá-lo.
  • Dados (cinco medições de viscosidade): 8,18, 8,45, 8,29, 8,69 e 7,32 (unidade: \mathrm{Pa\cdot s}).
  • Informação parcial fornecida: \bar{x}=8,1860, s=0,5207 e um intervalo parcial [7,4180;8,9540].
  • Observação importante: há apenas n=5 observações, e a variância populacional é desconhecida.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{x} passo a passo (verificando o dado parcial):
  • Some os valores:
8,18+8,45+8,29+8,69+7,32 = 40,93.
  • Divida pelo número de observações n=5:
\bar{x}=\frac{40,93}{5}=8,186.
Portanto \bar{x}=8,1860, que confere com o valor parcial dado.

Passo 3

Explicar e calcular o desvio-padrão amostral s:
  • Fórmula do desvio-padrão amostral (estimador da dispersão quando a variância populacional é desconhecida):
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2},
onde x_i são as observações, \bar{x} é a média amostral e n é o tamanho da amostra. Usamos n-1 (graus de liberdade) porque estamos estimando a média pela própria amostra — isso corrige o viés da estimativa da variância populacional.
  • Calcule as diferenças e os quadrados (valores arredondados para facilitar):
\begin{aligned} x_1-\bar{x}&=8,18-8,186=-0,006,\quad (x_1-\bar{x})^2=0,000036,\\\ x_2-\bar{x}&=8,45-8,186=0,264,\quad (x_2-\bar{x})^2=0,069696,\\\ x_3-\bar{x}&=8,29-8,186=0,104,\quad (x_3-\bar{x})^2=0,010816,\\\ x_4-\bar{x}&=8,69-8,186=0,504,\quad (x_4-\bar{x})^2=0,254016,\\\ x_5-\bar{x}&=7,32-8,186=-0,866,\quad (x_5-\bar{x})^2=0,749956. \end{aligned}
  • Some os quadrados:
\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})^2 \approx 1,08452.
  • Divida por n-1=4 e tire a raiz:
s=\sqrt{\frac{1,08452}{4}}=\sqrt{0,27113}\approx 0,5207.
Portanto s\approx 0,5207, que confere com o valor parcial dado.

Passo 4

Escolher o método apropriado (por que usar a distribuição t):
  • Motivação didática: para construir um intervalo de confiança para a média quando a variância populacional é desconhecida e a amostra é pequena ( n<30 é a regra prática), usamos a distribuição de Student t com n-1 graus de liberdade. A distribuição t é parecida com a normal, mas tem caudas mais pesadas; quanto menor n, mais largas as caudas.
  • Aqui: n=5, variância populacional desconhecida \Rightarrow usar t com df=n-1=4.
A fórmula do intervalo de confiança de nível 1-\alpha para a média é:
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde t_{1-\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t (valor crítico).

Passo 5

Determinar os valores numéricos necessários:
  • Nível de confiança 97\% \Rightarrow \alpha=0{,}03, \alpha/2=0{,}015.
  • Graus de liberdade: df=n-1=4.
  • Desvio padrão amostral já encontrado: s=0{,}5207.
  • Erro padrão da média (standard error):
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0{,}5207}{\sqrt{5}}.
Calcule \sqrt{5}\approx 2,23607, então
\text{SE}\approx\frac{0{,}5207}{2,23607}\approx 0{,}2329.

Passo 6

Encontrar o valor crítico t_{1-\alpha/2,\,n-1} e calcular a margem de erro:
  • Para \alpha/2=0{,}015 e df=4 procuramos t_{0{,}985,4}. Em tabelas de t (ou por interpolação), obtém-se aproximadamente
t_{0{,}985,4}\approx 3{,}297.
(Essa é uma aproximação obtida por interpolação de tabelas; o importante é entender que é bem maior que o valor da normal padrão porque a amostra é muito pequena.)
  • A margem de erro é:
\text{ME}=t_{0{,}985,4}\cdot\text{SE}\approx 3{,}297\cdot 0{,}2329\approx 0{,}768.

Passo 7

Construir o intervalo de confiança e apresentar cálculo final:
  • Intervalo:
\bar{x}\pm \text{ME}=8{,}1860\pm 0{,}768.
  • Portanto os extremos são
\text{limite inferior}=8{,}1860-0{,}768\approx 7{,}4180,
\text{limite superior}=8{,}1860+0{,}768\approx 8{,}9540.
Logo o intervalo de confiança de 97\% para a viscosidade média é aproximadamente [7{,}4180;\;8{,}9540] \mathrm{Pa\cdot s}, que coincide com o resultado parcial dado.

Passo 8

Interpretação (didática, simples e encorajadora):
  • Significado prático: com nível de confiança de 97\% nós construímos um intervalo que, se repetíssemos esse procedimento muitas vezes em amostras independentes de tamanho 5, aproximadamente 97\% desses intervalos conteriam a verdadeira viscosidade média do fluido. Não se deve dizer que "a probabilidade de a média estar no intervalo é 97\%" para o parâmetro já fixo — a ideia é sobre o procedimento repetido.
  • Observações importantes: o intervalo é relativamente largo porque a amostra é pequena e a confiança é alta. Se você quiser um intervalo mais estreito, precisaria de mais observações (aumentar n) ou aceitar um nível de confiança menor.
  • Você fez bem em checar média e s: os números conferem e o intervalo final [7{,}4180;\;8{,}9540] é consistente. Força aí — com essas etapas você consegue aplicar o mesmo raciocínio na prova!

Resposta

\,[7,4180;\;8,9540]\,\mathrm{Pa\cdot s}

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