Em um laboratório de controle de qualidade, foi medida a viscosidade de um fluido em cinco amostras, cujos dados foram: 8,18 ; 8,45 ; 8,29 ; 8,69 e 7,32 P a \cdot s. Determine o intervalo de confiança para a viscosidade média com um coeficiente de confiança de 97 \%. Interprete. Resposta parcial: \bar{x}=8,1860 ; s=0,5207 e [7,4180; 8,9540]
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado:
Pede: determinar o intervalo de confiança para a viscosidade média com coeficiente de confiança de 97\% e interpretá-lo.
Dados (cinco medições de viscosidade): 8,18, 8,45, 8,29, 8,69 e 7,32 (unidade: \mathrm{Pa\cdot s}).
Informação parcial fornecida: \bar{x}=8,1860, s=0,5207 e um intervalo parcial [7,4180;8,9540].
Observação importante: há apenas n=5 observações, e a variância populacional é desconhecida.
Passo 2
Calcular a média amostral \bar{x} passo a passo (verificando o dado parcial):
Some os valores:
8,18+8,45+8,29+8,69+7,32 = 40,93.
Divida pelo número de observações n=5:
\bar{x}=\frac{40,93}{5}=8,186.
Portanto \bar{x}=8,1860, que confere com o valor parcial dado.
Passo 3
Explicar e calcular o desvio-padrão amostral s:
Fórmula do desvio-padrão amostral (estimador da dispersão quando a variância populacional é desconhecida):
onde x_i são as observações, \bar{x} é a média amostral e n é o tamanho da amostra. Usamos n-1 (graus de liberdade) porque estamos estimando a média pela própria amostra — isso corrige o viés da estimativa da variância populacional.
Calcule as diferenças e os quadrados (valores arredondados para facilitar):
Portanto s\approx 0,5207, que confere com o valor parcial dado.
Passo 4
Escolher o método apropriado (por que usar a distribuição t):
Motivação didática: para construir um intervalo de confiança para a média quando a variância populacional é desconhecida e a amostra é pequena (n<30 é a regra prática), usamos a distribuição de Student t com n-1 graus de liberdade. A distribuição t é parecida com a normal, mas tem caudas mais pesadas; quanto menor n, mais largas as caudas.
Aqui: n=5, variância populacional desconhecida \Rightarrow usar t com df=n-1=4.
A fórmula do intervalo de confiança de nível 1-\alpha para a média é:
Encontrar o valor crítico t_{1-\alpha/2,\,n-1} e calcular a margem de erro:
Para \alpha/2=0{,}015 e df=4 procuramos t_{0{,}985,4}. Em tabelas de t (ou por interpolação), obtém-se aproximadamente
t_{0{,}985,4}\approx 3{,}297.
(Essa é uma aproximação obtida por interpolação de tabelas; o importante é entender que é bem maior que o valor da normal padrão porque a amostra é muito pequena.)
Logo o intervalo de confiança de 97\% para a viscosidade média é aproximadamente [7{,}4180;\;8{,}9540]\mathrm{Pa\cdot s}, que coincide com o resultado parcial dado.
Passo 8
Interpretação (didática, simples e encorajadora):
Significado prático: com nível de confiança de 97\% nós construímos um intervalo que, se repetíssemos esse procedimento muitas vezes em amostras independentes de tamanho 5, aproximadamente 97\% desses intervalos conteriam a verdadeira viscosidade média do fluido. Não se deve dizer que "a probabilidade de a média estar no intervalo é 97\%" para o parâmetro já fixo — a ideia é sobre o procedimento repetido.
Observações importantes: o intervalo é relativamente largo porque a amostra é pequena e a confiança é alta. Se você quiser um intervalo mais estreito, precisaria de mais observações (aumentar n) ou aceitar um nível de confiança menor.
Você fez bem em checar média e s: os números conferem e o intervalo final [7{,}4180;\;8{,}9540] é consistente. Força aí — com essas etapas você consegue aplicar o mesmo raciocínio na prova!