Em um laboratório de química analítica, a equipe de controle de qualidade acompanha frequentemente problemas relacionados às análises realizadas e ao funcionamento dos equipamentos. Estudos internos mostraram que 30 \% das amostras apresentam contaminação por metais pesados, enquanto 18 \% apresentam erro de calibração nos equipamentos utilizados nas medições. Em 10% dos casos, os dois problemas ocorrem simultaneamente.
Além disso, o laboratório registra uma média de 4 análises refeitas por turno devido a inconsistências nos resultados experimentais. A concentração de um determinado reagente utilizado nas análises segue distribuição normal com média de 25 \mathrm{~g} / \mathrm{L} e desvio padrão de 2 \mathrm{~g} / \mathrm{L}.
Com base nessas informações, considere um grupo de 12 amostras selecionadas aleatoriamente.
a. Qual a probabilidade de uma solução apresentar concentração inferior a 22 \mathrm{~g} / \mathrm{L} ?
b. Qual a probabilidade de exatamente 5 das 12 amostras apresentarem contaminação?
c. Qual a probabilidade de ocorrerem mais de 6 análises refeitas em um turno?
d. Qual a probabilidade de uma amostra apresentar pelo menos um dos problemas?
e. Uma pesquisadora afirmou: Como a concentração média é 25 \mathrm{~g} / \mathrm{L}, qualquer solução abaixo de 22 \mathrm{~g} / \mathrm{L} deve indicar erro experimental. Essa conclusão é necessariamente correta? Justifique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Informações fornecidas:
  • A proporção de amostras com contaminação por metais pesados é 30\%. Ou seja, p_{\text{cont}}=0,30.
  • A proporção de amostras com erro de calibração é 18\%. Ou seja, p_{\text{cal}}=0,18.
  • A proporção com os dois problemas simultâneos é 10\%. Ou seja, p_{\text{ambos}}=0,10.
  • Em média ocorrem 4 análises refeitas por turno. Vou tratar isso como uma variável de contagem com média \lambda=4 (modelo natural: Poisson).
  • A concentração do reagente segue distribuição normal com média \mu=25\\ \mathrm{g/L} e desvio padrão \sigma=2\\ \mathrm{g/L}.
  • Foi escolhido um grupo de 12 amostras aleatórias.
Perguntas:
a. Qual a probabilidade de uma solução apresentar concentração inferior a 22\\ \mathrm{g/L} ?
b. Qual a probabilidade de exatamente 5 das 12 amostras apresentarem contaminação?
c. Qual a probabilidade de ocorrerem mais de 6 análises refeitas em um turno?
d. Qual a probabilidade de uma amostra apresentar pelo menos um dos problemas (contaminação ou erro de calibração)?
e. A pesquisadora afirmou: “Como a concentração média é 25\\ \mathrm{g/L}, qualquer solução abaixo de 22\\ \mathrm{g/L} deve indicar erro experimental.” Essa conclusão é necessariamente correta? Justifique.

Passo 2

(a) Resolver a probabilidade para a distribuição normal (explicando com calma).
  • Conceito rápido: se X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos X\sim N(\mu,\sigma^2). Para calcular probabilidades como P(X<a) padronizamos usando a variável normal padrão Z\sim N(0,1).
  • A padronização é a transformação
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui, X é a concentração, \mu=25 e \sigma=2. Queremos
P(X<22)=P\!\left(Z<\frac{22-25}{2}\right).
  • Calcule o escore z:
\frac{22-25}{2}=\frac{-3}{2}=-1{,}5.
  • Então
P(X<22)=P(Z<-1{,}5).
  • Usando a tabela da normal padrão (ou uma calculadora estatística) sabe-se que
P(Z<-1{,}5)=0{,}0668\quad(\text{aprox.}).
Interpretação: cerca de 6{,}68\% das soluções têm concentração abaixo de 22\\ \mathrm{g/L} mesmo quando o processo tem média 25 e desvio 2.

Passo 3

(b) Probabilidade de exatamente 5 de 12 amostras contaminadas — modelo binomial (explicado).
  • Quando cada amostra tem independentemente probabilidade p de sucesso (aqui “sucesso” = estar contaminada) e escolhemos n amostras, o número Y de contaminadas segue a distribuição binomial:
Y\sim \text{Binomial}(n,p),
com
P(Y=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}.
  • No nosso caso n=12, k=5 e p=0{,}30. A combinação é
\binom{12}{5}=\frac{12!}{5!7!}=792.
  • Logo
P(Y=5)=792\cdot(0{,}30)^{5}\cdot(0{,}70)^{7}.
  • Calcule passo a passo:
(0{,}30)^{5}=0{,}00243,\qquad (0{,}70)^{7}\approx0{,}0823543.
792\cdot0{,}00243\approx1{,}92456.
1{,}92456\cdot0{,}0823543\approx0{,}15847.
  • Portanto a probabilidade é aproximadamente 0{,}1585 (ou 15{,}85\%).

Passo 4

(c) Probabilidade de ocorrerem mais de 6 análises refeitas em um turno — modelo de Poisson (explicado).
  • Quando contamos eventos raros por unidade de tempo/turno com média \lambda, é comum modelar por uma Poisson: N\sim \text{Poisson}(\lambda) com
P(N=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
  • Aqui \lambda=4. Queremos P(N>6). Isso é
P(N>6)=1-P(N\le6)=1-\sum_{k=0}^{6} e^{-4}\frac{4^{k}}{k!}.
  • É prático calcular termo a termo usando recursão P_{k+1}=P_{k}\cdot\frac{4}{k+1}. Começando com P_0=e^{-4}\approx0{,}0183156, os termos são (aprox.):
P_0\approx0{,}0183156,\; P_1\approx0{,}0732626,\; P_2\approx0{,}1465251,
P_3\approx0{,}1953668,\; P_4\approx0{,}1953668,\; P_5\approx0{,}1562935,\; P_6\approx0{,}1041957.
  • Somando até k=6:
P(N\le6)\approx0{,}8893261.
  • Finalmente
P(N>6)=1-0{,}8893261\approx0{,}1106739\approx0{,}1107.
Interpretação: aproximadamente 11{,}07\% de chance de haver mais de 6 análises refeitas num turno quando a média é 4.

Passo 5

(d) Probabilidade de uma amostra apresentar pelo menos um dos problemas (contaminação ou erro de calibração) — regra da adição (inclusão-exclusão).
  • Se A = evento “contaminação” e B = evento “erro de calibração”, então
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
  • Substituindo os valores dados ( P(A)=0{,}30, P(B)=0{,}18, P(A\cap B)=0{,}10):
P(A\cup B)=0{,}30+0{,}18-0{,}10=0{,}38.
  • Ou seja, 38\% das amostras apresentam pelo menos um dos problemas.

Passo 6

(e) Avaliando a afirmação da pesquisadora com justificativa estatística (explicação cuidadosa).
  • A pesquisadora disse: “Qualquer solução abaixo de 22\\ \mathrm{g/L} deve indicar erro experimental.” Isso é uma afirmação categórica (determinística). Estatística funciona diferente: mesmo que o processo tenga média \mu=25 e desvio \sigma=2, a distribuição normal prevê que valores menores que 22 ocorram com probabilidade positiva.
  • Já calculamos que
P(X<22)\approx0{,}0668\\ (6{,}68\%).
Logo tais valores não são impossíveis — ocorrem em cerca de 6{,}7\% das medições quando o processo está conforme o modelo.
  • Interpretação prática: um valor abaixo de 22\\ \mathrm{g/L} é incomum, mas não prova automaticamente um erro experimental. Para concluir erro experimental seria necessário um critério estatístico (por exemplo, adotar um nível de significância \alpha e dizer “se X< c com P(X<c)<\alpha então considerar anômalo”), além de verificar outras evidências como controles, repetições, confirmação por outro método, verificação de calibragem etc.
  • Observação numérica: se alguém escolhe o limiar c=22, a probabilidade tail é 0{,}0668. Se o laboratório exige um nível de alarme de 5\% ( \alpha=0{,}05), 22 é um limiar um pouco alto (pois 6{,}68\%>5\%); para \alpha=0{,}05 o limiar correspondente seria \mu + z_{0{,}05}\sigma com z_{0{,}05}\approx -1{,}645, dando 25+(-1{,}645)\cdot2\approx21{,}71\\ \mathrm{g/L}.
  • Conclusão direta: a afirmação NÃO é necessariamente correta; valores abaixo de 22\\ \mathrm{g/L} podem ocorrer naturalmente segundo o modelo estatístico e, portanto, não implicam automaticamente erro experimental sem análise adicional.

Resposta

a. P(X<22)\approx0{,}0668.
b. P(\text{exatamente }5)=\binom{12}{5}(0{,}3)^{5}(0{,}7)^{7}\approx0{,}1585.
c. P(N>6)=1-\sum_{k=0}^{6}e^{-4}\dfrac{4^{k}}{k!}\approx0{,}1107.
d. P(\text{pelo menos um problema})=0{,}30+0{,}18-0{,}10=0{,}38.
e. Não. Valores abaixo de 22\\ \mathrm{g/L} ocorrem com probabilidade aproximadamente 0{,}0668 sob N(25,2^{2}); portanto não provam automaticamente erro experimental — é preciso usar critérios estatísticos e evidências adicionais.

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