Em um laboratório de química analítica, a equipe de controle de qualidade acompanha frequentemente problemas relacionados às análises realizadas e ao funcionamento dos equipamentos. Estudos internos mostraram que
das amostras apresentam contaminação por metais pesados, enquanto
apresentam erro de calibração nos equipamentos utilizados nas medições. Em 10% dos casos, os dois problemas ocorrem simultaneamente.
Além disso, o laboratório registra uma média de 4 análises refeitas por turno devido a inconsistências nos resultados experimentais. A concentração de um determinado reagente utilizado nas análises segue distribuição normal com média de
e desvio padrão de
.
Com base nessas informações, considere um grupo de 12 amostras selecionadas aleatoriamente.
a. Qual a probabilidade de uma solução apresentar concentração inferior a
?
b. Qual a probabilidade de exatamente 5 das 12 amostras apresentarem contaminação?
c. Qual a probabilidade de ocorrerem mais de 6 análises refeitas em um turno?
d. Qual a probabilidade de uma amostra apresentar pelo menos um dos problemas?
e. Uma pesquisadora afirmou: Como a concentração média é
, qualquer solução abaixo de
deve indicar erro experimental. Essa conclusão é necessariamente correta? Justifique.
a. Qual a probabilidade de uma solução apresentar concentração inferior a
b. Qual a probabilidade de exatamente 5 das 12 amostras apresentarem contaminação?
c. Qual a probabilidade de ocorrerem mais de 6 análises refeitas em um turno?
d. Qual a probabilidade de uma amostra apresentar pelo menos um dos problemas?
e. Uma pesquisadora afirmou: Como a concentração média é
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Informações fornecidas:
- A proporção de amostras com contaminação por metais pesados é
. Ou seja, . - A proporção de amostras com erro de calibração é
. Ou seja, . - A proporção com os dois problemas simultâneos é
. Ou seja, . - Em média ocorrem
análises refeitas por turno. Vou tratar isso como uma variável de contagem com média (modelo natural: Poisson). - A concentração do reagente segue distribuição normal com média
e desvio padrão . - Foi escolhido um grupo de
amostras aleatórias.
Perguntas:
a. Qual a probabilidade de uma solução apresentar concentração inferior a ?
b. Qual a probabilidade de exatamente das
amostras apresentarem contaminação?
c. Qual a probabilidade de ocorrerem mais de análises refeitas em um turno?
d. Qual a probabilidade de uma amostra apresentar pelo menos um dos problemas (contaminação ou erro de calibração)?
e. A pesquisadora afirmou: “Como a concentração média é , qualquer solução abaixo de
deve indicar erro experimental.” Essa conclusão é necessariamente correta? Justifique.
a. Qual a probabilidade de uma solução apresentar concentração inferior a
b. Qual a probabilidade de exatamente
c. Qual a probabilidade de ocorrerem mais de
d. Qual a probabilidade de uma amostra apresentar pelo menos um dos problemas (contaminação ou erro de calibração)?
e. A pesquisadora afirmou: “Como a concentração média é
Passo 2
(a) Resolver a probabilidade para a distribuição normal (explicando com calma).
- Conceito rápido: se
é normal com média e desvio padrão , escrevemos . Para calcular probabilidades como padronizamos usando a variável normal padrão . - A padronização é a transformação
Aqui,
é a concentração,
e
. Queremos
- Calcule o escore
:
- Então
- Usando a tabela da normal padrão (ou uma calculadora estatística) sabe-se que
Interpretação: cerca de
das soluções têm concentração abaixo de
mesmo quando o processo tem média
e desvio
.
Passo 3
(b) Probabilidade de exatamente
de
amostras contaminadas — modelo binomial (explicado).
- Quando cada amostra tem independentemente probabilidade
de sucesso (aqui “sucesso” = estar contaminada) e escolhemos amostras, o número de contaminadas segue a distribuição binomial:
com
- No nosso caso
, e . A combinação é
- Logo
- Calcule passo a passo:
- Portanto a probabilidade é aproximadamente
(ou ).
Passo 4
(c) Probabilidade de ocorrerem mais de
análises refeitas em um turno — modelo de Poisson (explicado).
- Quando contamos eventos raros por unidade de tempo/turno com média
, é comum modelar por uma Poisson: com
- Aqui
. Queremos . Isso é
- É prático calcular termo a termo usando recursão
. Começando com , os termos são (aprox.):
- Somando até
:
- Finalmente
Interpretação: aproximadamente
de chance de haver mais de
análises refeitas num turno quando a média é
.
Passo 5
(d) Probabilidade de uma amostra apresentar pelo menos um dos problemas (contaminação ou erro de calibração) — regra da adição (inclusão-exclusão).
- Se
= evento “contaminação” e = evento “erro de calibração”, então
- Substituindo os valores dados (
, , ):
- Ou seja,
das amostras apresentam pelo menos um dos problemas.
Passo 6
(e) Avaliando a afirmação da pesquisadora com justificativa estatística (explicação cuidadosa).
- A pesquisadora disse: “Qualquer solução abaixo de
deve indicar erro experimental.” Isso é uma afirmação categórica (determinística). Estatística funciona diferente: mesmo que o processo tenga média e desvio , a distribuição normal prevê que valores menores que ocorram com probabilidade positiva. - Já calculamos que
Logo tais valores não são impossíveis — ocorrem em cerca de
das medições quando o processo está conforme o modelo.
- Interpretação prática: um valor abaixo de
é incomum, mas não prova automaticamente um erro experimental. Para concluir erro experimental seria necessário um critério estatístico (por exemplo, adotar um nível de significância e dizer “se com então considerar anômalo”), além de verificar outras evidências como controles, repetições, confirmação por outro método, verificação de calibragem etc. - Observação numérica: se alguém escolhe o limiar
, a probabilidade tail é . Se o laboratório exige um nível de alarme de ( ), é um limiar um pouco alto (pois ); para o limiar correspondente seria com , dando . - Conclusão direta: a afirmação NÃO é necessariamente correta; valores abaixo de
podem ocorrer naturalmente segundo o modelo estatístico e, portanto, não implicam automaticamente erro experimental sem análise adicional.
Resposta
a.
b.
c.
d.
e. Não. Valores abaixo de ocorrem com probabilidade aproximadamente
sob
; portanto não provam automaticamente erro experimental — é preciso usar critérios estatísticos e evidências adicionais.
b.
c.
d.
e. Não. Valores abaixo de