Em um laboratório está sendo desenvolvido um polímero para retenção de água. Após certo tempo ele começa a liberar gotas, sendo que a variável “número de gotas liberadas” pode ser modelada por uma distribuição de Poisson, com taxa média de 5 gotas liberadas a cada 10 segundos.
Qual é a probabilidade de que sejam liberadas apenas duas gotas em 10 segundos?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que sejam liberadas apenas duas gotas no intervalo de 10 segundos. As informações dadas são:
  • A variável “número de gotas liberadas” é modelada por uma distribuição de Poisson.
  • A taxa média é de \lambda=5 gotas por 10 segundos.
  • A pergunta: qual é P(\text{apenas duas gotas em }10\text{ s}), ou seja P(X=2).

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que descreve a probabilidade de exatamente k eventos ocorrerem em um intervalo quando a variável segue Poisson. A fórmula é:
P(X=k)=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!}
Explicando cada símbolo:
  • X é a variável aleatória que conta o número de gotas no intervalo considerado.
  • k é o número específico de eventos que queremos (aqui k=2).
  • \lambda é a média (taxa esperada) de eventos no mesmo intervalo (aqui \lambda=5).
  • e é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828\ldots.
  • k! é o fatorial de k: k! = k\cdot(k-1)\cdots1. Ex.: 2! = 2\cdot1=2.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula com \lambda=5 e k=2. Primeiro calculamos as partes:
\lambda^{k}=5^{2}=25, \qquad k!=2!=2.
Substituindo na fórmula:
P(X=2)=\frac{25\,e^{-5}}{2}=\;12,5\,e^{-5}.

Passo 4

Se quiser um valor numérico aproximado, usamos e^{-5}\approx0,006737947. Então:
P(X=2)\approx12,5\times0,006737947\approx0,08422434.
Convertendo para porcentagem isso dá cerca de 8,422\%.
Observação prática: em uma prova sem calculadora é aceitável deixar a resposta na forma exata 12,5\,e^{-5}. Se for permitido usar calculadora, dá para apresentar o valor aproximado 0,08422 (arredondando).

Passo 5

Interpretação rápida e dica de exame: o resultado significa que, com média de 5 gotas por 10 segundos, a chance de ocorrerem exatamente 2 gotas nesse intervalo é bem menor do que a de ocorrerem perto da média (pois 2 está distante de 5). Para provas, memorizando a fórmula da Poisson e sabendo calcular fatoriais simples e potências, a aplicação é direta — o único passo “difícil” numericamente é avaliar e^{-\lambda}, que pode ficar na forma simbólica se não for possível usar calculadora.

Resposta

P(X=2)=12,5\,e^{-5}\approx0,08422434

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