a) Uma lâmina metálica de comprimento
, largura
e espessura
é submetida a flexão. Foram obtidos os seguintes dados:
50,0
100,0
150,0
200
1,00
2,00
3,00
4,00
Construa o gráfico de
.
b) Ajuste uma reta aos dados e determine a constante elástica de flexão
.
c) O módulo de Young
é dado por:
Calcule
.
d) Compare com valores típicos para metais (
) e discuta a influência da espessura
no resultado.
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50,0 | 100,0 | 150,0 | 200 |
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1,00 | 2,00 | 3,00 | 4,00 |
c) O módulo de Young
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas, vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
- Dados (retirei-os da tabela do enunciado):
- Dimensões da lâmina (do enunciado):
- O que se pede:
a) Construir o gráfico de(ou seja, no eixo vertical e no eixo horizontal).
b) Ajustar uma reta aos dados e determinar a constante elástica de flexão.
c) Calcular o módulo de Youngusando a fórmula d) Comparar com valores típicos para metais ( ) e discutir a influência da espessura no resultado.
Passo 2
Construção do gráfico
e interpretação dos pontos (como fazer na prova):
- Para montar o gráfico, colocamos
no eixo horizontal e no vertical. Use unidades coerentes: aqui os dados estão em em gramas e em milímetros; é aceitável plotar exatamente esses números (eixo em g, eixo em mm). - Observando os pontos da tabela, vemos que
cresce proporcionalmente a : cada acréscimo de corresponde a . Portanto os pontos caem numa reta que passa pela origem (0,0). - Se eu desenhasse o gráfico, seria uma reta passando por
, , , (unidades em g e em mm). Conclusão prática para a prova: os dados são perfeitamente lineares e a reta de ajuste pode ser tomada sem intercepto (ou intercepto zero dentro do erro).
Passo 3
Determinar a reta de ajuste (cálculo do declive) e relação com
:
- Definição do declive (coeficiente angular) da reta no gráfico
versus : Tomando, por exemplo, os extremos e (unidades: em g, em mm): Esse valor é consistente entre todos os pares: cada → ⇒ . - Agora precisamos relacionar essa inclinação com a constante elástica
. Explico a física que usamos (muito importante para a prova): - A força aplicada por uma massa
é , onde é a aceleração da gravidade (vou usar ). - A definição da constante elástica de flexão aqui é
(analogia à lei de Hooke para a relação força-deslocamento do feixe), ou seja . - Se no gráfico usamos
como variável independente, então a inclinação (com em metros e em kg) satisfaz
- A força aplicada por uma massa
- Cuidado com unidades: nossa medida de
está em . Vamos converter para metros por quilograma (unidade natural para usar em ): (a conversão e faz com que os cancelem.) - Assim
é Arredondando com sentido prático: .
Passo 4
Derivação didática da fórmula do módulo de Young
e identificação das grandezas:
- Teoria básica de flexão para um cantiléver (viga enraizada numa extremidade) com carga concentrada
na extremidade: o deslocamento vertical na ponta é onde -
é o comprimento da viga, -
é o módulo de Young (o que queremos), -
é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo de flexão.
-
- Para seção retangular (largura
, espessura , com na direção da flexão), o momento de inércia vale - Substituindo
em : Reorganizando para encontrar quando (ou ): que é exatamente a fórmula fornecida no enunciado. Aqui expliquei de onde ela vem (útil para a prova). - Agora vamos usar essa fórmula com cuidado nas unidades.
Passo 5
Cálculo numérico de
com unidades e conversões passo a passo:
- Converter dimensões para o SI (metros):
- Calcular potências:
- Inserir
encontrado no Passo 3 ( ) na fórmula: - Calcule numericamente o numerador e denominador:
(unidade: , mas seguimos dividindo pelo denominador com unidades corretas) Portanto - Converter para gigapascal (GPa):
Em notação mais redonda: .
Passo 6
Discussão comparativa e influência da espessura
(análise crítica — o que escrever na prova):
- Comparação com valor típico: metais têm
. Nosso resultado experimental foi que é muito maior (cerca de vezes maior) — ou seja, um erro enorme. - Possíveis razões para a discrepância (coisas para citar na prova e que você deve checar no experimento):
- Erro na medição da espessura
: a fórmula tem dependência muito forte de , pois . Isso significa que um pequeno erro percentual em causa um erro aproximadamente três vezes maior em (em percentual). Por exemplo, se fosse (em vez de ), o cálculo daria . Ou seja, para reconciliar os números com mantendo o medido, precisaríamos de uma espessura da ordem de alguns milímetros maiores. - Posicionamento da carga: a fórmula usada assume carga concentrada na ponta de um cantiléver. Se a massa foi aplicada não exatamente na extremidade ou se a viga não é cantiléver ideal (apoios diferentes, múltiplos apoios, curvatura pré-existente), o fator numérico muda.
- Falha na suposição de que a reta passa pelo zero: aqui os dados indicavam que passam pelo zero, então isso não é o maior problema, mas em geral um intercepto não nulo mudaria o ajuste.
- Erros de leitura de
(valores pequenos em mm), atrito, efeitos plásticos (se ultrapassar limite elástico), ou viga não homogênea.
- Erro na medição da espessura
- Demonstração numérica da sensibilidade a
: suponha que tivesse sido medido com a mais, → aumenta em aproximadamente e cairia em . Isso mostra por que medir com precisão micrométrica é crítico. - Conclusão curta e motivadora: o procedimento está correto do ponto de vista teórico, mas o resultado numérico indica erro experimental ou dados incompatíveis com as hipóteses do modelo (por exemplo espessura errada ou carregamento diferente). Não desanime: verifique primeiro
, o local de aplicação da carga e as unidades — são os culpados mais comuns.
Resposta
a) Gráfico
: pontos
,
,
,
(unidades
em g,
em mm); reta praticamente perfeita passando pela origem com inclinação
.
b) Constante elástica de flexão: .
c) Módulo de Young calculado:
d) Comparação e influência de : valor obtido muito maior que o típico para metais (
); principal causa provável: sensibilidade extrema a
(
) e/ou erro experimental (medição de
, posição da carga, hipóteses do modelo). Para obter
com o
medido, a espessura teria de ser cerca de
(muito maior que
).
b) Constante elástica de flexão:
c) Módulo de Young calculado:
d) Comparação e influência de