a) Uma lâmina metálica de comprimento L=50,0 \mathrm{~cm}, largura a=20,0 \mathrm{~mm} e espessura b=1,00 \mathrm{~mm} é submetida a flexão. Foram obtidos os seguintes dados:
m(\mathrm{~g}) 50,0 100,0 150,0 200
y(\mathrm{~mm}) 1,00 2,00 3,00 4,00

Construa o gráfico de y \times m.

b) Ajuste uma reta aos dados e determine a constante elástica de flexão k.
c) O módulo de Young E é dado por:
E=\frac{4 \cdot k \cdot L^{3}}{a \cdot b^{3}} .

Calcule E.

d) Compare com valores típicos para metais ( \approx 200 \mathrm{GPa} ) e discuta a influência da espessura b no resultado.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas, vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Dados (retirei-os da tabela do enunciado): \begin{array}{c|cccc} m(\mathrm{~g}) & 50{,}0 & 100{,}0 & 150{,}0 & 200{,}0\\hline y(\mathrm{~mm}) & 1{,}00 & 2{,}00 & 3{,}00 & 4{,}00 \end{array}
  • Dimensões da lâmina (do enunciado): L=50{,}0\\ \mathrm{cm},\quad a=20{,}0\\ \mathrm{mm},\quad b=1{,}00\\ \mathrm{mm}.
  • O que se pede:
    a) Construir o gráfico de y\times m (ou seja, y no eixo vertical e m no eixo horizontal).
    b) Ajustar uma reta aos dados e determinar a constante elástica de flexão k.
    c) Calcular o módulo de Young E usando a fórmula E=\frac{4\cdot k\cdot L^{3}}{a\cdot b^{3}}.d) Comparar com valores típicos para metais ( \approx 200\\ \mathrm{GPa}) e discutir a influência da espessura b no resultado.

Passo 2

Construção do gráfico y\times m e interpretação dos pontos (como fazer na prova):
  • Para montar o gráfico, colocamos m no eixo horizontal e y no vertical. Use unidades coerentes: aqui os dados estão em m em gramas e y em milímetros; é aceitável plotar exatamente esses números (eixo m em g, eixo y em mm).
  • Observando os pontos da tabela, vemos que y cresce proporcionalmente a m: cada acréscimo de 50\\ \mathrm{g} corresponde a +1{,}00\\ \mathrm{mm}. Portanto os pontos caem numa reta que passa pela origem (0,0).
  • Se eu desenhasse o gráfico, seria uma reta passando por (50,1), (100,2), (150,3), (200,4) (unidades m em g e y em mm). Conclusão prática para a prova: os dados são perfeitamente lineares e a reta de ajuste pode ser tomada sem intercepto (ou intercepto zero dentro do erro).

Passo 3

Determinar a reta de ajuste (cálculo do declive) e relação com k:
  • Definição do declive (coeficiente angular) da reta no gráfico y versus m: \text{slope } s=\frac{\Delta y}{\Delta m}.Tomando, por exemplo, os extremos (m,y)=(50,1) e (200,4) (unidades: m em g, y em mm): s=\frac{4{,}00-1{,}00}{200-50}=\frac{3{,}00}{150}=0{,}02\\ \frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{g}}.Esse valor é consistente entre todos os pares: cada 50\\ \mathrm{g} +1{,}00\\ \mathrm{mm} 0{,}02\\ \mathrm{mm/g}.
  • Agora precisamos relacionar essa inclinação com a constante elástica k. Explico a física que usamos (muito importante para a prova):
    • A força aplicada por uma massa m é F=m\,g, onde g é a aceleração da gravidade (vou usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
    • A definição da constante elástica de flexão aqui é F=k\,y (analogia à lei de Hooke para a relação força-deslocamento do feixe), ou seja y=\dfrac{F}{k}=\dfrac{m\,g}{k}.
    • Se no gráfico usamos m como variável independente, então a inclinação s (com y em metros e m em kg) satisfaz y=\frac{g}{k}\,m \quad\Rightarrow\quad s=\frac{g}{k}.
  • Cuidado com unidades: nossa medida de s está em \mathrm{mm/g}. Vamos converter para metros por quilograma (unidade natural para usar g em \mathrm{m/s^{2}}): s=0{,}02\\ \frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{g}} =0{,}02\cdot\frac{10^{-3}\\ \mathrm{m}}{10^{-3}\\ \mathrm{kg}} =0{,}02\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{kg}}.(a conversão \mathrm{mm}\to\mathrm{m} e \mathrm{g}\to\mathrm{kg} faz com que os 10^{-3} cancelem.)
  • Assim k é k=\frac{g}{s}=\frac{9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}}{0{,}02\\ \mathrm{m/kg}}=490{,}5\\ \mathrm{N/m}.Arredondando com sentido prático: k\approx 4{,}91\times 10^{2}\\ \mathrm{N/m}.

Passo 4

Derivação didática da fórmula do módulo de Young E e identificação das grandezas:
  • Teoria básica de flexão para um cantiléver (viga enraizada numa extremidade) com carga concentrada F na extremidade: o deslocamento vertical na ponta é \delta=\frac{F L^{3}}{3 E I},onde
    • L é o comprimento da viga,
    • E é o módulo de Young (o que queremos),
    • I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo de flexão.
  • Para seção retangular (largura a, espessura b, com b na direção da flexão), o momento de inércia vale I=\frac{a\,b^{3}}{12}.
  • Substituindo I em \delta: \delta=\frac{F L^{3}}{3 E (a b^{3}/12)}=\frac{4 F L^{3}}{E\,a\,b^{3}}.Reorganizando para encontrar E quando F=k\,\delta (ou k=F/\delta): k=\frac{F}{\delta}=\frac{E\,a\,b^{3}}{4 L^{3}} \quad\Rightarrow\quad E=\frac{4\,k\,L^{3}}{a\,b^{3}},que é exatamente a fórmula fornecida no enunciado. Aqui expliquei de onde ela vem (útil para a prova).
  • Agora vamos usar essa fórmula com cuidado nas unidades.

Passo 5

Cálculo numérico de E com unidades e conversões passo a passo:
  • Converter dimensões para o SI (metros): L=50{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}500\\ \mathrm{m}, \quad a=20{,}0\\ \mathrm{mm}=0{,}0200\\ \mathrm{m}, \quad b=1{,}00\\ \mathrm{mm}=0{,}00100\\ \mathrm{m}.
  • Calcular potências: L^{3}=(0{,}500)^{3}=0{,}125\\ \mathrm{m^{3}},\qquad b^{3}=(0{,}00100)^{3}=1{,}0\times 10^{-9}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Inserir k encontrado no Passo 3 ( k=490{,}5\\ \mathrm{N/m}) na fórmula: E=\frac{4\cdot k\cdot L^{3}}{a\cdot b^{3}} =\frac{4\cdot 490{,}5\\ \mathrm{N/m}\cdot 0{,}125\\ \mathrm{m^{3}}}{0{,}0200\\ \mathrm{m}\cdot 1{,}0\times 10^{-9}\\ \mathrm{m^{3}}}.
  • Calcule numericamente o numerador e denominador: \text{numerador}=4\cdot 490{,}5\cdot 0{,}125=245{,}25,(unidade: \mathrm{N\cdot m^{2}}/ \mathrm{m} = \mathrm{N\cdot m}, mas seguimos dividindo pelo denominador com unidades corretas) \text{denominador}=0{,}0200\cdot 1{,}0\times 10^{-9}=2{,}0\times 10^{-11}.Portanto E=\frac{245{,}25}{2{,}0\times 10^{-11}}=1{,}22625\times 10^{13}\\ \mathrm{Pa}.
  • Converter para gigapascal (GPa): 1{,}22625\times 10^{13}\\ \mathrm{Pa}=1{,}22625\times 10^{4}\\ \mathrm{GPa}\approx 1{,}23\times 10^{4}\\ \mathrm{GPa}.Em notação mais redonda: E\approx 1{,}23\times 10^{13}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Discussão comparativa e influência da espessura b (análise crítica — o que escrever na prova):
  • Comparação com valor típico: metais têm E\approx 200\\ \mathrm{GPa}=2{,}0\times 10^{11}\\ \mathrm{Pa}. Nosso resultado experimental foi E_{\text{obtido}}\approx 1{,}23\times 10^{13}\\ \mathrm{Pa},que é muito maior (cerca de \dfrac{1{,}23\times 10^{13}}{2{,}0\times 10^{11}}\approx 61{,}5 vezes maior) — ou seja, um erro enorme.
  • Possíveis razões para a discrepância (coisas para citar na prova e que você deve checar no experimento):
    • Erro na medição da espessura b: a fórmula tem dependência muito forte de b, pois E\propto 1/b^{3}. Isso significa que um pequeno erro percentual em b causa um erro aproximadamente três vezes maior em E (em percentual). Por exemplo, se b fosse 3{,}94\\ \mathrm{mm} (em vez de 1{,}00\\ \mathrm{mm}), o cálculo daria E\approx 200\\ \mathrm{GPa}. Ou seja, para reconciliar os números com E\approx 200\\ \mathrm{GPa} mantendo o k medido, precisaríamos de uma espessura da ordem de alguns milímetros maiores.
    • Posicionamento da carga: a fórmula usada assume carga concentrada na ponta de um cantiléver. Se a massa foi aplicada não exatamente na extremidade ou se a viga não é cantiléver ideal (apoios diferentes, múltiplos apoios, curvatura pré-existente), o fator numérico muda.
    • Falha na suposição de que a reta passa pelo zero: aqui os dados indicavam que passam pelo zero, então isso não é o maior problema, mas em geral um intercepto não nulo mudaria o ajuste.
    • Erros de leitura de y (valores pequenos em mm), atrito, efeitos plásticos (se ultrapassar limite elástico), ou viga não homogênea.
  • Demonstração numérica da sensibilidade a b: suponha que b tivesse sido medido com 10\% a mais, b=1{,}10\\ \mathrm{mm} b^{3} aumenta em aproximadamente 33\% e E cairia em 33\%. Isso mostra por que medir b com precisão micrométrica é crítico.
  • Conclusão curta e motivadora: o procedimento está correto do ponto de vista teórico, mas o resultado numérico indica erro experimental ou dados incompatíveis com as hipóteses do modelo (por exemplo espessura errada ou carregamento diferente). Não desanime: verifique primeiro b, o local de aplicação da carga e as unidades — são os culpados mais comuns.

Resposta

a) Gráfico y\times m: pontos (50,1), (100,2), (150,3), (200,4) (unidades m em g, y em mm); reta praticamente perfeita passando pela origem com inclinação s=0{,}02\\ \mathrm{mm/g}.
b) Constante elástica de flexão: k=\dfrac{g}{s}\approx 4{,}91\times 10^{2}\\ \mathrm{N/m}.
c) Módulo de Young calculado: E=\dfrac{4kL^{3}}{ab^{3}}\approx 1{,}23\times 10^{13}\\ \mathrm{Pa}\approx 1{,}23\times 10^{4}\\ \mathrm{GPa}.
d) Comparação e influência de b: valor obtido muito maior que o típico para metais ( \approx 200\\ \mathrm{GPa}); principal causa provável: sensibilidade extrema a b ( E\propto 1/b^{3}) e/ou erro experimental (medição de b, posição da carga, hipóteses do modelo). Para obter E\approx 200\\ \mathrm{GPa} com o k medido, a espessura teria de ser cerca de b\approx 3{,}94\\ \mathrm{mm} (muito maior que 1{,}00\\ \mathrm{mm}).

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