\left(3,4\right. pontos) Três canos de diâmetros \mathrm{d}_{1}=2,34 \mathrm{~cm} ; \mathrm{d}_{2}=3,20 \mathrm{~cm} e \mathrm{d}_{3}=1,23 \mathrm{~cm} desembocam num quarto cano, cujo diâmetro vale \mathrm{d}_{4}=3,45 \mathrm{~cm}. As velocidades de escoamento nos três primeiros canos valem \mathrm{v}_{1}=5,34 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; \mathrm{v}_{2}=3,91 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e \mathrm{v}_{3}=2,21 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
a) Qual a velocidade de escoamento no quarto cano?

Passo 1

O enunciado dá os diâmetros e as velocidades nos três canos que se juntam num quarto cano e pede a velocidade de escoamento nesse quarto cano. Vou listar claramente o que foi dado:
  • Diâmetros:
    • d_{1}=2,34\\ \text{cm}
    • d_{2}=3,20\\ \text{cm}
    • d_{3}=1,23\\ \text{cm}
    • d_{4}=3,45\\ \text{cm}
  • Velocidades nos três primeiros canos:
    • v_{1}=5,34\\ \text{m/s}
    • v_{2}=3,91\\ \text{m/s}
    • v_{3}=2,21\\ \text{m/s}
Pergunta: qual é a velocidade v_{4} de escoamento no quarto cano?

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicado de forma simples): para um líquido incompressível em regime estacionário, o fluxo volumétrico que entra nos nós se conserva. Ou seja, a soma dos vazões volumétricas nos três canos de entrada é igual à vazão volumétrica no cano de saída.
Definições e fórmulas que usaremos:
  • Vazão volumétrica de um cano: Q = A\,v, onde
    • Q é a vazão volumétrica em \text{m}^3/\text{s},
    • A é a área da secção transversal do cano em \text{m}^2,
    • v é a velocidade média do fluido em \text{m/s}.
  • Área de um cano circular em função do diâmetro: A = \frac{\pi d^{2}}{4},onde \pi é a constante matemática (aprox. 3{,}1416) e d é o diâmetro em metros.
Equação de conservação de vazão (continuidade): Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}=Q_{4}.
Como Q_{i}=A_{i}v_{i}, temos A_{1}v_{1}+A_{2}v_{2}+A_{3}v_{3}=A_{4}v_{4},
da qual isolamos v_{4}: v_{4}=\frac{A_{1}v_{1}+A_{2}v_{2}+A_{3}v_{3}}{A_{4}}.

Passo 3

Converter os diâmetros para metros e calcular as áreas A_{i}.
Conversões:
  • d_{1}=2,34\\ \text{cm}=0,0234\\ \text{m}
  • d_{2}=3,20\\ \text{cm}=0,0320\\ \text{m}
  • d_{3}=1,23\\ \text{cm}=0,0123\\ \text{m}
  • d_{4}=3,45\\ \text{cm}=0,0345\\ \text{m}
Cálculo das áreas usando A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}:
  • Para o cano 1:
    A_{1}=\frac{\pi d_{1}^{2}}{4}=\frac{\pi\,(0,0234)^{2}}{4} \approx 0,0004297\\ \text{m}^{2}.
  • Para o cano 2:
    A_{2}=\frac{\pi d_{2}^{2}}{4}=\frac{\pi\,(0,0320)^{2}}{4} \approx 0,0008030\\ \text{m}^{2}.
  • Para o cano 3:
    A_{3}=\frac{\pi d_{3}^{2}}{4}=\frac{\pi\,(0,0123)^{2}}{4} \approx 0,0001189\\ \text{m}^{2}.
  • Para o cano 4:
    A_{4}=\frac{\pi d_{4}^{2}}{4}=\frac{\pi\,(0,0345)^{2}}{4} \approx 0,0009350\\ \text{m}^{2}.
(Usei aproximações decimais razoáveis nas áreas para manter os cálculos manuais simples; as casas mostradas são suficientes para obter v_{4} com precisão prática.)

Passo 4

Calcular as vazões volumétricas Q_{i}=A_{i}v_{i} para os três canos de entrada.
  • Q_{1}=A_{1}v_{1}:
    Q_{1}\approx 0,0004297\cdot 5,34 \approx 0,002295\\ \text{m}^{3}/\text{s}.
  • Q_{2}=A_{2}v_{2}:
    Q_{2}\approx 0,0008030\cdot 3,91 \approx 0,003140\\ \text{m}^{3}/\text{s}.
  • Q_{3}=A_{3}v_{3}:
    Q_{3}\approx 0,0001189\cdot 2,21 \approx 0,0002628\\ \text{m}^{3}/\text{s}.

Passo 5

Somar as vazões para obter a vazão total de entrada Q_{\text{tot}} e então calcular v_{4}.
Soma das vazões:
Q_{\text{tot}}=Q_{1}+Q_{2}+Q_{3} \approx 0,002295+0,003140+0,0002628 \approx 0,0056978\\ \text{m}^{3}/\text{s}.
Velocidade no cano 4 a partir de v_{4}=Q_{\text{tot}}/A_{4}:
v_{4}\approx\frac{0,0056978}{0,0009350}\approx 6,09\\ \text{m/s}.
(Unidade está correta porque \text{m}^{3}/\text{s} dividido por \text{m}^{2} \text{m/s}.)

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: o valor obtido v_{4}\approx 6,09\\ \text{m/s} faz sentido — é maior que algumas velocidades de entrada porque o cano de saída tem área relativamente menor que a soma das áreas de entrada (logo para acomodar a mesma vazão a velocidade aumenta). Boa! Você já chega aqui com razão e passos claros — na prova, escreva as conversões, a fórmula da área, os Q_i e a divisão final que dá v_4.

Resposta

v_{4}\approx 6,09\\ \text{m/s}

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