Leia a matéria publicada em junho de 2016.

Energia eólica deverá alcançar 10 GW nos próximos dias

O dia mundial do vento, 15 de junho, terá um marco simbólico este ano. Antes do final do mês, a fonte de energia que começou a se tornar realidade no país há seis anos alcançará 10 GW , sendo que o potencial brasileiro é de 500 GW . A perspectiva é a de que, em metade deste tempo, o Brasil duplique os 10 GW .
Disponível em: www.portalabeeolica.org.br
Considerando que a perspectiva de crescimento continue dobrando a cada três anos, calcule o ano em que o Brasil atingirá 64 \% da utilização do seu potencial eólico. Em seguida, calcule o ano aproximado em que o Brasil atingirá 100 \% da utilização do seu potencial eólico, empregando um modelo exponencial de base 2 e adotando \log 2 \cong 0,3 no cálculo final.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
  • Informações fornecidas:
    • Em junho de 2016 a capacidade instalada é de 10\\ \text{GW}.
    • O potencial eólico total do Brasil é de 500\\ \text{GW}.
    • A perspectiva é de dobrar a capacidade a cada 3 anos (ou seja, crescimento por fator 2 a cada 3 anos).
  • Perguntas:
    1. Em que ano o Brasil atingirá 64\% da utilização do potencial eólico?
    2. Em que ano, aproximadamente, o Brasil atingirá 100\% da utilização do potencial eólico, usando um modelo exponencial de base 2 e adotando \log 2 \cong 0,3 no cálculo final?

Passo 2

Modelagem matemática — vamos traduzir o crescimento em fórmula exponencial.
  • Quando algo dobra a cada 3 anos, um modelo natural é
P(t)=P_0\cdot 2^{t/3},
onde:
  • P(t) é a potência instalada (em GW) t anos após 2016,
  • P_0 é a potência inicial, aqui P_0=10\\ \text{GW},
  • o expoente t/3 conta quantos intervalos de 3 anos cabem em t anos.
Portanto usaremos
P(t)=10\cdot 2^{t/3}.

Passo 3

Primeiro alvo: 64\% do potencial.
  • 64\% de 500\\ \text{GW} é
0,64\cdot 500 = 320\\ \text{GW}.
Então queremos achar t tal que P(t)=320.

Passo 4

Resolver 10\cdot 2^{t/3}=320.
  • Dividindo ambos os lados por 10:
2^{t/3}= \frac{320}{10}=32.
  • Agora note que 32 é potência de 2: 32=2^5. Então
2^{t/3}=2^5 \implies \frac{t}{3}=5,
pela propriedade dos expoentes (se 2^a=2^b então a=b).
  • Assim
t=3\cdot 5 = 15\\ \text{anos}.

Passo 5

Converter t em ano do calendário.
  • 15 anos após 2016 é 2016+15=2031.
  • Checagem intuitiva por contagem de duplicações: 10\to20\to40\to80\to160\to320 são 5 duplicações, cada uma com 3 anos, total 15 anos — confirma 2031.

Passo 6

Agora o alvo de 100\% do potencial: 500\\ \text{GW}.
  • Queremos t tal que
10\cdot 2^{t/3}=500.
  • Dividindo por 10:
2^{t/3}=50.
Aqui 50 não é uma potência inteira de 2, então precisamos usar logaritmos para resolver.

Passo 7

Uso de logaritmos (explicação curta e didática).
  • Se 2^{x}=A com A>0, aplicamos logaritmo (qualquer base) para obter x=\dfrac{\log A}{\log 2}. A razão é que \log(2^{x})=x\log 2.
  • Vamos aplicar logaritmo de base 10 por conveniência e porque o enunciado pede adotar \log 2\cong 0,3 (isto é \log_{10}2\approx 0{,}3).
Aplicando \log_{10} em 2^{t/3}=50:
\frac{t}{3}\log_{10}2 = \log_{10}50.
Logo
t = 3\cdot \frac{\log_{10}50}{\log_{10}2}.

Passo 8

Avaliação numérica usando \log_{10}2\cong 0{,}3.
  • Primeiro calcule \log_{10}50. Usamos \log_{10}50=\log_{10}(5\cdot 10)=\log_{10}5 + \log_{10}10 = \log_{10}5 + 1.
  • Sabemos que \log_{10}5\approx 0{,}699 (valor típico), então \log_{10}50\approx 0{,}699 + 1 = 1{,}699.
  • Agora
t \approx 3\cdot \frac{1{,}699}{0{,}3}.
  • Calcule passo a passo: \dfrac{1{,}699}{0{,}3}\approx 5{,}6633. Multiplicando por 3:
t \approx 3\cdot 5{,}6633 \approx 16{,}99\\ \text{anos}.
  • Arredondando, t\approx 17 anos (pois 16{,}99 está praticamente em 17).

Passo 9

Converter para ano do calendário e interpretar o resultado.
  • 17 anos após 2016 é 2016+17=2033.
  • Interpretação rápida: 500\\ \text{GW} fica entre 320\\ \text{GW} (após 15 anos, em 2031) e 640\\ \text{GW} (após 18 anos, em 2034), então esperar aproximadamente 2033 faz sentido.

Resposta

2031\n 2033

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