Let \boldsymbol{\chi}(\hat{\mathbf{n}}) be the two-component eigenspinor of \boldsymbol{\sigma} \cdot \hat{\mathbf{n}} with eigenvalue +1 . Using the explicit form of \boldsymbol{\chi}(\hat{\mathbf{n}}) (in terms of the polar and azimuthal angles \beta and \gamma that characterize \hat{\mathbf{n}} ) verify that -i \sigma_{2} \chi^{*}(\hat{\mathbf{n}}) is the two-component eigenspinor with the spin direction reversed.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (em palavras claras):
Foi dada a duas-componentes eigenspinor \chi(\hat{\mathbf{n}}) de \boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}} com autovalor +1. Ou seja,
O objetivo: usando a forma explícita de \chi(\hat{\mathbf{n}}) em termos de \beta,\gamma, verificar que -i\sigma_2\chi^{*}(\hat{\mathbf{n}}) é a eigenspinor correspondente à direção de spin invertida (ou seja, tem autovalor oposto em relação a \hat{\mathbf{n}}, ou autovalor +1 em relação a -\hat{\mathbf{n}}).
Passo 2
Forma explícita da eigenspinor \chi(\hat{\mathbf{n}}).
Uma escolha padrão (normalizada) para o autovetor de \boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}} com autovalor +1 é
Calcule a primeira componente de (\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}})\varphi:
\big[(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}})\varphi\big]_1 =\cos\beta\cdot(-e^{-i\gamma}s)+\sin\beta\,e^{-i\gamma}\cdot c =e^{-i\gamma}\big(-\cos\beta\,s+\sin\beta\,c\big).
Usando as identidades de ângulo metade
\cos\beta=c^2-s^2,\qquad \sin\beta=2sc,
temos
-\cos\beta\,s+\sin\beta\,c = -(c^2-s^2)s + 2sc\cdot c = -c^2 s + s^3 + 2 s c^2 = s(s^2+c^2)=s.
A igualdade (\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}})\varphi = -\varphi mostra que \varphi é autovetor de \boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}} com autovalor -1. Ou seja, \varphi é o estado de spin oposto em relação ao eixo \hat{\mathbf{n}}.
Equivalente e muitas vezes mais claro: como \boldsymbol{\sigma}\cdot(-\hat{\mathbf{n}})=-(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}}), temos
isto é, \varphi é o autovetor com autovalor +1 ao longo da direção -\hat{\mathbf{n}}. Portanto -i\sigma_2\chi^{*}(\hat{\mathbf{n}}) é a eigenspinor correspondente à direção de spin invertida.
(Dica rápida: existe também uma prova elegante sem escrever componentes, usando a identidade das matrizes de Pauli \sigma_2\sigma_i\sigma_2=-\sigma_i^{*}.)