Let \boldsymbol{\chi}(\hat{\mathbf{n}}) be the two-component eigenspinor of \boldsymbol{\sigma} \cdot \hat{\mathbf{n}} with eigenvalue +1 . Using the explicit form of \boldsymbol{\chi}(\hat{\mathbf{n}}) (in terms of the polar and azimuthal angles \beta and \gamma that characterize \hat{\mathbf{n}} ) verify that -i \sigma_{2} \chi^{*}(\hat{\mathbf{n}}) is the two-component eigenspinor with the spin direction reversed.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (em palavras claras):
  • Foi dada a duas-componentes eigenspinor \chi(\hat{\mathbf{n}}) de \boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}} com autovalor +1. Ou seja,
(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}})\,\chi(\hat{\mathbf{n}})=\chi(\hat{\mathbf{n}}).
  • A direção unitária \hat{\mathbf{n}} é caracterizada pelos ângulos polares \beta (colatitude) e \gamma (azimute), isto é
\hat{\mathbf{n}}=(\sin\beta\cos\gamma,\;\sin\beta\sin\gamma,\;\cos\beta).
  • O objetivo: usando a forma explícita de \chi(\hat{\mathbf{n}}) em termos de \beta,\gamma, verificar que -i\sigma_2\chi^{*}(\hat{\mathbf{n}}) é a eigenspinor correspondente à direção de spin invertida (ou seja, tem autovalor oposto em relação a \hat{\mathbf{n}}, ou autovalor +1 em relação a -\hat{\mathbf{n}}).

Passo 2

Forma explícita da eigenspinor \chi(\hat{\mathbf{n}}).
Uma escolha padrão (normalizada) para o autovetor de \boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}} com autovalor +1 é
\chi(\hat{\mathbf{n}})=\begin{pmatrix} \cos\!\dfrac{\beta}{2}\\[6pt] e^{i\gamma}\sin\!\dfrac{\beta}{2} \end{pmatrix}.
Explicação rápida por que essa forma é natural:
  • Para \beta=0 (eixo +z) obtemos \chi=(1,0)^T, que é estado up em z.
  • Para \beta=\pi (eixo -z) obtemos \chi=(0,e^{i\gamma})^T, que é up em -z até uma fase.
  • A normalização vem de \cos^2(\beta/2)+\sin^2(\beta/2)=1.]

Passo 3

Calcular \chi^{*}(\hat{\mathbf{n}}) e aplicar -i\sigma_{2}.
Escrevendo \chi e sua conjugada:
\chi(\hat{\mathbf{n}})=\begin{pmatrix}\cos\!\dfrac{\beta}{2}\\[4pt] e^{i\gamma}\sin\!\dfrac{\beta}{2}\end{pmatrix}, \qquad \chi^{*}(\hat{\mathbf{n}})=\begin{pmatrix}\cos\!\dfrac{\beta}{2}\\[4pt] e^{-i\gamma}\sin\!\dfrac{\beta}{2}\end{pmatrix}.
A matriz \sigma_2 é
\sigma_2=\begin{pmatrix}0 & -i\\[4pt] i & 0\end{pmatrix}.
Multiplicando \sigma_2 por \chi^{*}:
\sigma_2\,\chi^{*}(\hat{\mathbf{n}}) =\begin{pmatrix}0 & -i\\[4pt] i & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\!\dfrac{\beta}{2}\\[6pt] e^{-i\gamma}\sin\!\dfrac{\beta}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-i\,e^{-i\gamma}\sin\!\dfrac{\beta}{2}\\[6pt] i\cos\!\dfrac{\beta}{2}\end{pmatrix}.
Agora multiplico por -i:
-i\sigma_2\,\chi^{*}(\hat{\mathbf{n}}) =\begin{pmatrix}-i\big(-i\,e^{-i\gamma}\sin\!\dfrac{\beta}{2}\big)\\[6pt]-i\big(i\cos\!\dfrac{\beta}{2}\big)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-e^{-i\gamma}\sin\!\dfrac{\beta}{2}\\[6pt]\cos\!\dfrac{\beta}{2}\end{pmatrix}.
Observação: multiplicar por uma fase complexa global (por exemplo -1) não altera o estado físico; aqui escolhemos essa forma explícita.]

Passo 4

Escrever a matriz \boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}} numa forma que facilite a ação.
Usando as componentes de \hat{\mathbf{n}} e as matrizes de Pauli,
\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}} = n_x\sigma_1+n_y\sigma_2+n_z\sigma_3 = \begin{pmatrix} \cos\beta & \sin\beta\,e^{-i\gamma}\\[6pt] \sin\beta\,e^{i\gamma} & -\cos\beta \end{pmatrix}.
(Isto pode ser obtido somando as matrizes com n_x=\sin\beta\cos\gamma, n_y=\sin\beta\sin\gamma, n_z=\cos\beta.)]

Passo 5

Aplicar \boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}} ao vetor -i\sigma_2\chi^{*}(\hat{\mathbf{n}}) e simplificar componente a componente.
Denotemos c=\cos(\beta/2) e s=\sin(\beta/2). Então
\varphi\equiv -i\sigma_2\chi^{*}(\hat{\mathbf{n}}) =\begin{pmatrix}-e^{-i\gamma}s\\[6pt] c\end{pmatrix}.
Calcule a primeira componente de (\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}})\varphi:
\big[(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}})\varphi\big]_1 =\cos\beta\cdot(-e^{-i\gamma}s)+\sin\beta\,e^{-i\gamma}\cdot c =e^{-i\gamma}\big(-\cos\beta\,s+\sin\beta\,c\big).
Usando as identidades de ângulo metade
\cos\beta=c^2-s^2,\qquad \sin\beta=2sc,
temos
-\cos\beta\,s+\sin\beta\,c = -(c^2-s^2)s + 2sc\cdot c = -c^2 s + s^3 + 2 s c^2 = s(s^2+c^2)=s.
Portanto
\big[(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}})\varphi\big]_1 = e^{-i\gamma}s = -\big(\varphi_1\big).
Agora a segunda componente:
\big[(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}})\varphi\big]_2 =\sin\beta\,e^{i\gamma}\cdot(-e^{-i\gamma}s)+(-\cos\beta)\cdot c = -\sin\beta\,s -\cos\beta\,c.
Novamente usando \sin\beta=2sc e \cos\beta=c^2-s^2,
-\sin\beta\,s -\cos\beta\,c = -2s c\cdot s - (c^2-s^2)c = -2s^2 c - c^3 + s^2 c = -c(c^2+s^2)= -c.
Portanto
\big[(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}})\varphi\big]_2 = -c = -\big(\varphi_2\big).
Combinação das componentes:
(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}})\varphi = -\varphi.]

Passo 6

Interpretação e conclusão didática.
  • A igualdade (\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}})\varphi = -\varphi mostra que \varphi é autovetor de \boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}} com autovalor -1. Ou seja, \varphi é o estado de spin oposto em relação ao eixo \hat{\mathbf{n}}.
  • Equivalente e muitas vezes mais claro: como \boldsymbol{\sigma}\cdot(-\hat{\mathbf{n}})=-(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}}), temos
(\boldsymbol{\sigma}\cdot(-\hat{\mathbf{n}}))\varphi = +\varphi,
isto é, \varphi é o autovetor com autovalor +1 ao longo da direção -\hat{\mathbf{n}}. Portanto -i\sigma_2\chi^{*}(\hat{\mathbf{n}}) é a eigenspinor correspondente à direção de spin invertida.
(Dica rápida: existe também uma prova elegante sem escrever componentes, usando a identidade das matrizes de Pauli \sigma_2\sigma_i\sigma_2=-\sigma_i^{*}.)

Resposta

(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}})\big(-i\sigma_{2}\chi^{*}(\hat{\mathbf{n}})\big)=-\big(-i\sigma_{2}\chi^{*}(\hat{\mathbf{n}})\big)
\text{equivalently}\qquad (\boldsymbol{\sigma}\cdot(-\hat{\mathbf{n}}))\big(-i\sigma_{2}\chi^{*}(\hat{\mathbf{n}})\big)=+\big(-i\sigma_{2}\chi^{*}(\hat{\mathbf{n}})\big)

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