Let
denote the translation operator (displacement vector
);
, the rotation operator (
and
are the axis and angle of rotation, respectively); and
the parity operator. Which, if any, of the following pairs commute? Why?
and
(
and
in different directions).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as duas operações de tradução
e
(com
e
apontando em direções diferentes) comutam, ou seja, se a ordem em que são aplicadas importa.
As informações relevantes fornecidas são:
-
é o operador de translação de deslocamento . -
é o operador de translação de deslocamento . - A pergunta é se
.
Passo 2
Definição operacional (ação sobre funções/estados): A ação de
sobre uma função de posição (por exemplo, uma função de onda)
é definida pela convenção ativa usual:
Isto significa que aplicar
desloca todo o perfil da função para a direita por
(ou, visto de outra maneira, avalia a função no ponto
).
Passo 3
Para calcular a composição
agindo numa função arbitrária
, temos:
E na ordem inversa:
Como a soma de vetores é comutativa,
, segue que as duas expressões atuam da mesma forma em qualquer função
. Portanto, os operadores são iguais como operadores lineares:
Passo 4
Em mecânica quântica, as translações são geradas pelo operador momento
; a translação por
pode ser escrita como
Os componentes do momento satisfazem
, portanto produtos escalares com vetores diferentes ainda geram operadores que se comutam. Pelo teorema de Baker–Campbell–Hausdorff, quando os argumentos comutam as exponenciais se multiplicam somando os expoentes, o que dá
Isto reafirma o resultado anterior de maneira algebraica.
Passo 5
Geometricamente, deslocar um objeto primeiro por
e depois por
termina no mesmo ponto que deslocá‑lo primeiro por
e depois por
; o deslocamento resultante é simplesmente a soma vetorial
. Exemplo em duas dimensões: transladar por
e depois por
leva ao ponto
; a ordem não importa.
Passo 6
Caveats: O que tratamos aqui é a translação usual em espaço euclidiano (ou translações em rede periódica, também comutativas). Existem situações físicas especiais em que operadores chamados “traduções magnéticas” ou outras operações em espaços com estruturas adicionais (campo magnético, espaços não comutativos, presença de custos de fase dependentes do caminho) podem não comutar. Se o enunciado se refere às translações padrão no espaço sem essas estruturas adicionais, a conclusão acima vale sem exceção.
Resposta
Sim —
e
comutam;
.