Let \mathscr{T}_{\mathbf{d}} denote the translation operator (displacement vector \mathbf{d} ); \mathscr{D}(\hat{\mathbf{n}}, \varphi), the rotation operator ( \hat{\mathbf{n}} and \varphi are the axis and angle of rotation, respectively); and \pi the parity operator. Which, if any, of the following pairs commute? Why?
\mathscr{T}_{\mathbf{d}} and \mathscr{T}_{\mathbf{d}^{\'}} ( \mathbf{d} and \mathbf{d}^{\'} in different directions).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as duas operações de tradução \mathscr{T}_{\mathbf d} e \mathscr{T}_{\mathbf d'} (com \mathbf d e \mathbf d' apontando em direções diferentes) comutam, ou seja, se a ordem em que são aplicadas importa.
As informações relevantes fornecidas são:
  • \mathscr{T}_{\mathbf d} é o operador de translação de deslocamento \mathbf d.
  • \mathscr{T}_{\mathbf d'} é o operador de translação de deslocamento \mathbf d'.
  • A pergunta é se \mathscr{T}_{\mathbf d}\mathscr{T}_{\mathbf d'}=\mathscr{T}_{\mathbf d'}\mathscr{T}_{\mathbf d}.

Passo 2

Definição operacional (ação sobre funções/estados): A ação de \mathscr{T}_{\mathbf d} sobre uma função de posição (por exemplo, uma função de onda) \psi(\mathbf r) é definida pela convenção ativa usual:
(\mathscr{T}_{\mathbf d}\psi)(\mathbf r)=\psi(\mathbf r-\mathbf d).
Isto significa que aplicar \mathscr{T}_{\mathbf d} desloca todo o perfil da função para a direita por \mathbf d (ou, visto de outra maneira, avalia a função no ponto \mathbf r-\mathbf d).

Passo 3

Para calcular a composição \mathscr{T}_{\mathbf d}\mathscr{T}_{\mathbf d'} agindo numa função arbitrária \psi(\mathbf r), temos:
(\mathscr{T}_{\mathbf d}\mathscr{T}_{\mathbf d'}\psi)(\mathbf r) = \mathscr{T}_{\mathbf d}\big((\mathscr{T}_{\mathbf d'}\psi)\big)(\mathbf r) = (\mathscr{T}_{\mathbf d'}\psi)(\mathbf r-\mathbf d) = \psi\big((\mathbf r-\mathbf d)-\mathbf d'\big) = \psi\big(\mathbf r-(\mathbf d+\mathbf d')\big).
E na ordem inversa:
(\mathscr{T}_{\mathbf d'}\mathscr{T}_{\mathbf d}\psi)(\mathbf r) = \psi\big(\mathbf r-(\mathbf d'+\mathbf d)\big).
Como a soma de vetores é comutativa, \mathbf d+\mathbf d'=\mathbf d'+\mathbf d, segue que as duas expressões atuam da mesma forma em qualquer função \psi(\mathbf r). Portanto, os operadores são iguais como operadores lineares:
\mathscr{T}_{\mathbf d}\mathscr{T}_{\mathbf d'}=\mathscr{T}_{\mathbf d'}\mathscr{T}_{\mathbf d}.

Passo 4

Em mecânica quântica, as translações são geradas pelo operador momento \mathbf P; a translação por \mathbf d pode ser escrita como
\mathscr{T}_{\mathbf d}=\exp\!\Big(-\dfrac{i}{\hbar}\,\mathbf d\cdot\mathbf P\Big).
Os componentes do momento satisfazem [P_i,P_j]=0, portanto produtos escalares com vetores diferentes ainda geram operadores que se comutam. Pelo teorema de Baker–Campbell–Hausdorff, quando os argumentos comutam as exponenciais se multiplicam somando os expoentes, o que dá
\mathscr{T}_{\mathbf d}\mathscr{T}_{\mathbf d'}=\exp\!\Big(-\dfrac{i}{\hbar}(\mathbf d+\mathbf d')\cdot\mathbf P\Big) =\mathscr{T}_{\mathbf d+\mathbf d'}=\mathscr{T}_{\mathbf d'}\mathscr{T}_{\mathbf d}.
Isto reafirma o resultado anterior de maneira algebraica.

Passo 5

Geometricamente, deslocar um objeto primeiro por \mathbf d e depois por \mathbf d' termina no mesmo ponto que deslocá‑lo primeiro por \mathbf d' e depois por \mathbf d; o deslocamento resultante é simplesmente a soma vetorial \mathbf d+\mathbf d'. Exemplo em duas dimensões: transladar por (1,0) e depois por (0,1) leva ao ponto (1,1); a ordem não importa.

Passo 6

Caveats: O que tratamos aqui é a translação usual em espaço euclidiano (ou translações em rede periódica, também comutativas). Existem situações físicas especiais em que operadores chamados “traduções magnéticas” ou outras operações em espaços com estruturas adicionais (campo magnético, espaços não comutativos, presença de custos de fase dependentes do caminho) podem não comutar. Se o enunciado se refere às translações padrão no espaço sem essas estruturas adicionais, a conclusão acima vale sem exceção.

Resposta

Sim — \mathscr{T}_{\mathbf d} e \mathscr{T}_{\mathbf d'} comutam; \mathscr{T}_{\mathbf d}\mathscr{T}_{\mathbf d'}=\mathscr{T}_{\mathbf d'}\mathscr{T}_{\mathbf d}=\mathscr{T}_{\mathbf d+\mathbf d'}.

Exercícios relacionados