Let \mathscr{T}_{\mathbf{d}} denote the translation operator (displacement vector \mathbf{d} ); \mathscr{D}(\hat{\mathbf{n}}, \varphi), the rotation operator ( \hat{\mathbf{n}} and \varphi are the axis and angle of rotation, respectively); and \pi the parity operator. Which, if any, of the following pairs commute? Why? \mathscr{D}(\hat{\mathbf{n}}, \varphi) and \mathscr{D}\left(\hat{\mathbf{n}}^{\'}, \varphi^{\'}\right) ( \hat{\mathbf{n}} and \hat{\mathbf{n}}^{\'} in different directions).
Passo 1
O enunciado pergunta se dois operadores de rotação \mathscr{D}(\hat{\mathbf{n}},\varphi) e \mathscr{D}(\hat{\mathbf{n}}',\varphi'), cujos eixos \hat{\mathbf{n}} e \hat{\mathbf{n}}' são em direções diferentes, comutam.
Informações relevantes dadas:
Cada operador \mathscr{D}(\hat{\mathbf{n}},\varphi) representa uma rotação no espaço tridimensional de ângulo \varphi em torno do eixo unitário \hat{\mathbf{n}}.
Os eixos \hat{\mathbf{n}} e \hat{\mathbf{n}}' estão em direções diferentes (não coincidentes).
A pergunta é: a ordem das aplicações importa? Ou seja, é sempre verdade que
Ideia geral do que vamos usar (sem avançar a resolução ainda): rotações em \mathbb{R}^3 podem ser representadas por matrizes ortogonais de determinante +1 (elementos de SO(3)). Testar comutatividade pode ser feito comparando os produtos matriciais correspondentes. Se existirem exemplos em que as multiplicações dão matrizes diferentes, então as rotações NÃO comutam em geral. Vou mostrar a definição de matrizes de rotação e depois um contraexemplo concreto e fácil de calcular.
Explicando a matriz de rotação (aula rápida):
Uma rotação em torno do eixo x por ângulo \alpha tem a matriz (no sistema de coordenadas padrão):
Estas são fórmulas padrão; cada linha/coluna descreve como as componentes do vetor se misturam pela rotação. Quando multiplicamos matrizes R_a R_b isso corresponde a aplicar primeiro R_b e depois R_a.]
Passo 3
Construção do contraexemplo concreto (escolha simples para contas à mão): tome \hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{x}} (eixo x) com \varphi=\tfrac{\pi}{2} e \hat{\mathbf{n}}'=\hat{\mathbf{y}} (eixo y) com \varphi'=\tfrac{\pi}{2}. Essas são rotações de 90^\circ em torno de x e y. Substituindo \alpha=\beta=\tfrac{\pi}{2} nas matrizes acima, temos \cos\tfrac{\pi}{2}=0 e \sin\tfrac{\pi}{2}=1. Assim:
Agora calculo explicitamente os produtos R_x(\tfrac{\pi}{2})R_y(\tfrac{\pi}{2}) e R_y(\tfrac{\pi}{2})R_x(\tfrac{\pi}{2}), mostrando que são diferentes.
Isto é um contraexemplo explícito: aplicar primeiro uma rotação de 90^\circ em y e depois 90^\circ em x dá resultado diferente de aplicar na ordem inversa.]
Passo 5
Interpretação e razão geral (aula curta e intuitiva): o conjunto de rotações em 3D forma um grupo não comutativo (o grupo SO(3)). Geometricamente, rodar em torno de um eixo e depois em torno de outro eixo mistura as direções de tal forma que trocar a ordem normalmente muda o resultado. Uma forma elegante de ver isso infinitesimalmente é através dos geradores de rotação \mathbf{J}=(J_x,J_y,J_z), que satisfazem as relações de comutador
[J_i,J_j]=i\varepsilon_{ijk}J_k,
ou seja, o comutador de duas rotações gera uma rotação em torno do terceiro eixo — isso já diz que rotações infinitesimais não comutam. Portanto, em geral duas rotações de eixos diferentes NÃO comutam.
Exceções (quando comutam): elas comutam em casos especiais, por exemplo quando
os eixos são coincidentes (mesma direção ou exatamente oposta), porque então ambas as rotações são efetivamente em torno do mesmo eixo e se combinam como soma de ângulos; ou
uma (ou ambas) das rotações é trivial (ângulo 0 ou múltiplo de 2\pi), ou
em casos degenerados em que os dois produtos dão a mesma rotação (situações particulares de ângulos escolhidos), mas essas são exceções e não a regra.
Resposta
Não — em geral \mathscr{D}(\hat{\mathbf{n}},\varphi) e \mathscr{D}(\hat{\mathbf{n}}',\varphi') não comutam quando \hat{\mathbf{n}}\neq\hat{\mathbf{n}}'. Comutam apenas em casos especiais (eixos coincidentes/opostos, ângulos triviais =0 ou múltiplos de 2\pi, ou escolhas particulares de ângulos que produzem a mesma rotação composta).