Let \mathscr{T}_{\mathbf{d}} denote the translation operator (displacement vector \mathbf{d} ); \mathscr{D}(\hat{\mathbf{n}}, \varphi), the rotation operator ( \hat{\mathbf{n}} and \varphi are the axis and angle of rotation, respectively); and \pi the parity operator. Which, if any, of the following pairs commute? Why?
\mathscr{T}_{\mathrm{d}} and \pi.

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se os dois operadores \mathscr{T}_{\mathbf{d}} (translação de deslocamento \mathbf{d}) e \pi (paridade, inversão espacial) comutam.
Informações dadas/úteis:
  • A ação de \mathscr{T}_{\mathbf{d}} sobre uma função de posição \psi(\mathbf{r}) é deslocar a variável espacial por \mathbf{d}.
  • A ação de \pi sobre \psi(\mathbf{r}) é inverter o sinal do argumento espacial.
    O objetivo: comparar \pi \mathscr{T}_{\mathbf{d}} com \mathscr{T}_{\mathbf{d}} \pi e concluir se são iguais (comutam) ou não.

Passo 2

Definição prática de comutação: dois operadores A e B comutam quando AB = BA. Outra forma: o comutador [A,B]=AB-BA é zero. Aqui precisamos testar se
\pi\,\mathscr{T}_{\mathbf{d}}=\mathscr{T}_{\mathbf{d}}\,\pi.

Passo 3

Escrever explicitamente as ações sobre uma função arbitrária \psi(\mathbf{r}). Por definição:
(\mathscr{T}_{\mathbf{d}}\psi)(\mathbf{r})=\psi(\mathbf{r}-\mathbf{d}), \qquad (\pi\psi)(\mathbf{r})=\psi(-\mathbf{r}).
Agora compute as composições:
(\pi\,\mathscr{T}_{\mathbf{d}}\psi)(\mathbf{r})=(\mathscr{T}_{\mathbf{d}}\psi)(-\,\mathbf{r})=\psi(-\mathbf{r}-\mathbf{d}),
(\mathscr{T}_{\mathbf{d}}\,\pi\psi)(\mathbf{r})=(\pi\psi)(\mathbf{r}-\mathbf{d})=\psi(-(\mathbf{r}-\mathbf{d}))=\psi(-\mathbf{r}+\mathbf{d}).
Comparando os argumentos das funções vemos que, em geral,
\psi(-\mathbf{r}-\mathbf{d}) \neq \psi(-\mathbf{r}+\mathbf{d}),
para um \psi arbitrário e um \mathbf{d} não-nulo. Portanto, em geral \pi\,\mathscr{T}_{\mathbf{d}}\neq\mathscr{T}_{\mathbf{d}}\,\pi.

Passo 4

Dar uma forma operatorial limpa da relação: a partir das ações acima segue a identidade
\pi\,\mathscr{T}_{\mathbf{d}}=\mathscr{T}_{-\mathbf{d}}\,\pi.
Uma maneira rápida de ver isso é agir sobre autovetores de posição \lvert\mathbf{r}\rangle: \mathscr{T}_{\mathbf{d}}\lvert\mathbf{r}\rangle=\lvert\mathbf{r}+\mathbf{d}\rangle e \pi\lvert\mathbf{r}\rangle=\lvert-\mathbf{r}\rangle. Então
\pi\,\mathscr{T}_{\mathbf{d}}\lvert\mathbf{r}\rangle=\pi\lvert\mathbf{r}+\mathbf{d}\rangle=\lvert-\mathbf{r}-\mathbf{d}\rangle =\mathscr{T}_{-\mathbf{d}}\lvert-\mathbf{r}\rangle=\mathscr{T}_{-\mathbf{d}}\,\pi\lvert\mathbf{r}\rangle,
o que prova a identidade operatorial acima.

Passo 5

Concluir sobre comutação: a identidade \pi\,\mathscr{T}_{\mathbf{d}}=\mathscr{T}_{-\mathbf{d}}\,\pi implica que \pi e \mathscr{T}_{\mathbf{d}} comutam somente se \mathscr{T}_{-\mathbf{d}}=\mathscr{T}_{\mathbf{d}}. Isso significa que precisam ser iguais translações opostas, ou seja \mathscr{T}_{2\mathbf{d}}=\mathbb{I}. No espaço usual (não periódico) isso exige \mathbf{d}=\mathbf{0}. Há exceções em espaços com identificação/topologia especial (por exemplo espaço periódico onde 2\mathbf{d} pode ser um vetor de rede e então \mathscr{T}_{2\mathbf{d}}=\mathbb{I}), mas para o caso padrão em R^3: só comutam para \mathbf{d}=\mathbf{0}.

Resposta

Não comutam em geral; tem-se \pi\,\mathscr{T}_{\mathbf{d}}=\mathscr{T}_{-\mathbf{d}}\,\pi, logo comutam apenas no caso trivial \mathbf{d}=\mathbf{0} (ou em casos especiais com identificação periódica tal que \mathscr{T}_{2\mathbf{d}}=\mathbb{I}).

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