Let
denote the translation operator (displacement vector
);
, the rotation operator (
and
are the axis and angle of rotation, respectively); and
the parity operator. Which, if any, of the following pairs commute? Why?
and
.
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se os dois operadores
(translação de deslocamento
) e
(paridade, inversão espacial) comutam.
Informações dadas/úteis:
Informações dadas/úteis:
- A ação de
sobre uma função de posição é deslocar a variável espacial por . - A ação de
sobre é inverter o sinal do argumento espacial.
O objetivo: compararcom e concluir se são iguais (comutam) ou não.
Passo 2
Definição prática de comutação: dois operadores
e
comutam quando
. Outra forma: o comutador
é zero. Aqui precisamos testar se
Passo 3
Escrever explicitamente as ações sobre uma função arbitrária
. Por definição:
Agora compute as composições:
Comparando os argumentos das funções vemos que, em geral,
para um
arbitrário e um
não-nulo. Portanto, em geral
.
Passo 4
Dar uma forma operatorial limpa da relação: a partir das ações acima segue a identidade
Uma maneira rápida de ver isso é agir sobre autovetores de posição
:
e
. Então
o que prova a identidade operatorial acima.
Passo 5
Concluir sobre comutação: a identidade
implica que
e
comutam somente se
. Isso significa que precisam ser iguais translações opostas, ou seja
. No espaço usual (não periódico) isso exige
. Há exceções em espaços com identificação/topologia especial (por exemplo espaço periódico onde
pode ser um vetor de rede e então
), mas para o caso padrão em R^3: só comutam para
.
Resposta
Não comutam em geral; tem-se
, logo comutam apenas no caso trivial
(ou em casos especiais com identificação periódica tal que
).