Let
denote the translation operator (displacement vector
);
, the rotation operator (
and
are the axis and angle of rotation, respectively); and
the parity operator. Which, if any, of the following pairs commute? Why?
and
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de informação:
- Pergunta: verificar se
(rotação de eixo e ângulo ) e (paridade) comutam, isto é, se a composição em qualquer ordem dá o mesmo operador. - Informação dada (definições que vamos usar):
- A paridade inverte coordenadas espaciais: para um vetor posição
vale . - A rotação age por uma matriz ortogonal
sobre vetores: .
- A paridade inverte coordenadas espaciais: para um vetor posição
- Objetivo explícito: testar se
.
Passo 2
O que significa “comutar” na prática e como vamos testar:
- Dois operadores
e comutam se . - Uma maneira direta e simples é aplicar as composições
e a um vetor arbitrário (ou a uma função de posição) e comparar os resultados. Se derem a mesma expressão para todo , então os operadores comutam.
Passo 3
Prova usando a representação matricial simples (a mais direta):
- A paridade corresponde à multiplicação por
, onde é a matriz identidade tridimensional. Ou seja, a matriz de paridade é . - A rotação corresponde a uma matriz ortogonal
. - Calcule
e : - Conclusão imediata:
. Como representa e representa , eles comutam.
Passo 4
Prova alternativa, equivalente, atuando em funções de posição (útil em QM para ver ação em estados):
- Definir ação em uma função de posição
: - Calcular
: - Calcular
: - Como as duas composições produzem a mesma função para todo
, concluímos que e comutam quando agem sobre funções de posição.
Passo 5
Comentário didático e observações finais (para não ficar com dúvida):
- Intuitivamente: paridade é a transformação "multiplicar tudo por
". Multiplicar por comuta com qualquer rotação porque fazer a rotação e depois inverter é a mesma coisa que inverter e depois rotacionar. - Em representações espaciais (funções de posição, vetores) isso é rigoroso e simples.
- Em representações com índices internos (por exemplo representações de spin), a implementação de
pode incluir um fator de fase ou uma transformação no espaço de índices internos; ainda assim a parte espacial da paridade comuta com rotações. Em muitas convenções físicas é escolhido de modo a commutar com rotações também nas componentes internas, mas esse detalhe depende da definição de na representação considerada.