Let \mathscr{T}_{\mathbf{d}} denote the translation operator (displacement vector \mathbf{d} ); \mathscr{D}(\hat{\mathbf{n}}, \varphi), the rotation operator ( \hat{\mathbf{n}} and \varphi are the axis and angle of rotation, respectively); and \pi the parity operator. Which, if any, of the following pairs commute? Why?
\mathscr{D}(\hat{\mathbf{n}}, \varphi) and \pi.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de informação:
  • Pergunta: verificar se \mathscr{D}(\hat{\mathbf{n}},\varphi) (rotação de eixo \hat{\mathbf{n}} e ângulo \varphi) e \pi (paridade) comutam, isto é, se a composição em qualquer ordem dá o mesmo operador.
  • Informação dada (definições que vamos usar):
    • A paridade inverte coordenadas espaciais: para um vetor posição \mathbf{r} vale \pi:\mathbf{r}\mapsto -\mathbf{r}.
    • A rotação age por uma matriz ortogonal R_{\hat{\mathbf{n}}}(\varphi) sobre vetores: \mathscr{D}(\hat{\mathbf{n}},\varphi):\mathbf{r}\mapsto R_{\hat{\mathbf{n}}}(\varphi)\mathbf{r}.
  • Objetivo explícito: testar se \mathscr{D}(\hat{\mathbf{n}},\varphi)\,\pi=\pi\,\mathscr{D}(\hat{\mathbf{n}},\varphi).

Passo 2

O que significa “comutar” na prática e como vamos testar:
  • Dois operadores A e B comutam se AB=BA.
  • Uma maneira direta e simples é aplicar as composições \pi\mathscr{D}(\hat{\mathbf{n}},\varphi) e \mathscr{D}(\hat{\mathbf{n}},\varphi)\pi a um vetor arbitrário \mathbf{r} (ou a uma função de posição) e comparar os resultados. Se derem a mesma expressão para todo \mathbf{r}, então os operadores comutam.

Passo 3

Prova usando a representação matricial simples (a mais direta):
  • A paridade corresponde à multiplicação por -\mathsf{I}, onde \mathsf{I} é a matriz identidade tridimensional. Ou seja, a matriz de paridade é \mathsf{P}=-\mathsf{I}.
  • A rotação corresponde a uma matriz ortogonal \mathsf{R}=R_{\hat{\mathbf{n}}}(\varphi).
  • Calcule \mathsf{P}\mathsf{R} e \mathsf{R}\mathsf{P}: \mathsf{P}\mathsf{R}=(-\mathsf{I})\mathsf{R}=-\mathsf{R}, \qquad \mathsf{R}\mathsf{P}=\mathsf{R}(-\mathsf{I})=-\mathsf{R}.
  • Conclusão imediata: \mathsf{P}\mathsf{R}=\mathsf{R}\mathsf{P}. Como \mathsf{P} representa \pi e \mathsf{R} representa \mathscr{D}(\hat{\mathbf{n}},\varphi), eles comutam.

Passo 4

Prova alternativa, equivalente, atuando em funções de posição (útil em QM para ver ação em estados):
  • Definir ação em uma função de posição \psi(\mathbf{r}): (\pi\psi)(\mathbf{r})=\psi(-\mathbf{r}), \qquad (\mathscr{D}(\hat{\mathbf{n}},\varphi)\psi)(\mathbf{r})=\psi\big(R_{\hat{\mathbf{n}}}(\varphi)^{-1}\mathbf{r}\big).
  • Calcular (\pi\mathscr{D}\psi)(\mathbf{r}): (\pi\mathscr{D}\psi)(\mathbf{r})=(\mathscr{D}\psi)(-\,\mathbf{r})=\psi\big(R^{-1}(-\mathbf{r})\big)=\psi\big(-R^{-1}\mathbf{r}\big).
  • Calcular (\mathscr{D}\pi\psi)(\mathbf{r}): (\mathscr{D}\pi\psi)(\mathbf{r})=(\pi\psi)(R^{-1}\mathbf{r})=\psi\big(-R^{-1}\mathbf{r}\big).
  • Como as duas composições produzem a mesma função para todo \mathbf{r}, concluímos que \pi e \mathscr{D}(\hat{\mathbf{n}},\varphi) comutam quando agem sobre funções de posição.

Passo 5

Comentário didático e observações finais (para não ficar com dúvida):
  • Intuitivamente: paridade é a transformação "multiplicar tudo por -1". Multiplicar por -1 comuta com qualquer rotação porque fazer a rotação e depois inverter é a mesma coisa que inverter e depois rotacionar.
  • Em representações espaciais (funções de posição, vetores) isso é rigoroso e simples.
  • Em representações com índices internos (por exemplo representações de spin), a implementação de \pi pode incluir um fator de fase ou uma transformação no espaço de índices internos; ainda assim a parte espacial da paridade comuta com rotações. Em muitas convenções físicas \pi é escolhido de modo a commutar com rotações também nas componentes internas, mas esse detalhe depende da definição de \pi na representação considerada.

Resposta

\mathscr{D}(\hat{\mathbf{n}},\varphi)\pi=\pi\mathscr{D}(\hat{\mathbf{n}},\varphi)

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