Let \psi(\mathbf{x}, t) be the wave function of a spinless particle corresponding to a plane wave in three dimensions. Show that \psi^{*}(\mathbf{x},-t) is the wave function for the plane wave with the momentum direction reversed.

Passo 1

O enunciado dá uma função de onda correspondente a uma onda plana em três dimensões e pede para mostrar que \psi^{*}(\mathbf{x},-t) é a função de onda da mesma onda plana com a direção do momento invertida.
Informações dadas (pressupostas para uma onda plana livre):
  • A forma geral de uma onda plana é \psi(\mathbf{x},t)=A\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-\omega t)}, onde A é uma amplitude (complexa em geral), \mathbf{k} é o vetor de onda e \omega a frequência angular.
  • A relação entre vetor de onda e momento é \mathbf{p}=\hbar\mathbf{k}.
  • Para uma partícula livre, a relação de dispersão satisfaz \omega(-\mathbf{k})=\omega(\mathbf{k}) (por exemplo, \omega=\hbar k^{2}/(2m) no caso não-relativístico).
Pergunta a responder:
  • Mostrar algebraicamente que \psi^{*}(\mathbf{x},-t) representa uma onda plana com vetor de onda -\mathbf{k} (ou seja, com momento -\mathbf{p}).

Passo 2

Escrever explicitamente \psi(\mathbf{x},t) e avaliar \psi(\mathbf{x},-t).
Começando da forma padrão,
\psi(\mathbf{x},t)=A\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-\omega t)}.
Trocar t por -t:
\psi(\mathbf{x},-t)=A\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-\omega(-t))} = A\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}+\omega t)},
pois -\omega(-t)=\omega t, isto é, substituindo t\mapsto -t muda o sinal do segundo termo.

Passo 3

Tomar o conjugado complexo de \psi(\mathbf{x},-t) para obter \psi^{*}(\mathbf{x},-t).
A conjugação complexa troca i por -i e conjugada a amplitude A em A^{*}. Assim
\psi^{*}(\mathbf{x},-t)=\bigl(A\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}+\omega t)}\bigr)^{*} = A^{*}\,e^{-i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}+\omega t)}.
Agora reescreve-se o expoente de forma a evidenciar o vetor de onda invertido:
- \bigl(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}+\omega t\bigr)=(-\mathbf{k})\cdot\mathbf{x}-\omega t,
portanto
\psi^{*}(\mathbf{x},-t)=A^{*}\,e^{i\bigl((- \mathbf{k})\cdot\mathbf{x}-\omega t\bigr)}.

Passo 4

Interpretação: identificar o vetor de onda e a frequência na expressão obtida.
A expressão obtida tem a forma de uma onda plana padrão,
\psi^{*}(\mathbf{x},-t)=A^{*}\,e^{i(\mathbf{k}'\cdot\mathbf{x}-\omega' t)}
com \mathbf{k}' = -\mathbf{k} e \omega' = \omega. Ou seja, é uma onda plana com vetor de onda -\mathbf{k} e mesma frequência \omega.
Para partículas livres (caso usual de uma “plane wave” no enunciado) vale \omega(-\mathbf{k})=\omega(\mathbf{k}), então não há contradição em manter \omega'=\omega.

Passo 5

Relacionar o vetor de onda com o momento e mostrar que o momento inverte de sinal.
Como \mathbf{p}=\hbar\mathbf{k}, a nova onda tem momento
\mathbf{p}'=\hbar\mathbf{k}'=\hbar(-\mathbf{k})=-\hbar\mathbf{k}=-\mathbf{p}.
Para reforçar com o operador momento, aplicar \hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla sobre \psi^{*}(\mathbf{x},-t):
\hat{\mathbf{p}}\,\psi^{*}(\mathbf{x},-t) = -i\hbar\nabla\bigl(A^{*}e^{i((- \mathbf{k})\cdot\mathbf{x}-\omega t)}\bigr) = -i\hbar\bigl(i(-\mathbf{k})\bigr)A^{*}e^{i((- \mathbf{k})\cdot\mathbf{x}-\omega t)} = \hbar(-\mathbf{k})\,\psi^{*}(\mathbf{x},-t).
Logo \psi^{*}(\mathbf{x},-t) é autovetor do operador momento com autovalor \hbar(-\mathbf{k})=-\mathbf{p}.

Passo 6

Comentário físico e conclusão didática (breve e prática para a prova).
O procedimento que fizemos (trocar t\mapsto -t e tomar conjugado complexo) é exatamente a ação do operador de reversão temporal para partículas sem spin: a operação de time reversal age como \mathcal{T}\psi(\mathbf{x},t)=\psi^{*}(\mathbf{x},-t). Para uma onda plana livre isso inverte o sinal do vetor de onda (e, portanto, do momento) mantendo a energia (frequência) porque a relação de dispersão é par em \mathbf{k}. Na prática, num problema de prova, basta escrever a forma exponencial da onda plana, substituir t\to -t, tomar conjugado e identificar o novo \mathbf{k}.

Resposta

\displaystyle \psi^{*}(\mathbf{x},-t)=A^{*}\,e^{i\bigl((- \mathbf{k})\cdot\mathbf{x}-\omega t\bigr)}, portanto o vetor de onda é -\mathbf{k} e o momento é -\hbar\mathbf{k}=-\mathbf{p}.

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