Let
be the wave function of a spinless particle corresponding to a plane wave in three dimensions. Show that
is the wave function for the plane wave with the momentum direction reversed.
Passo 1
O enunciado dá uma função de onda correspondente a uma onda plana em três dimensões e pede para mostrar que
é a função de onda da mesma onda plana com a direção do momento invertida.
Informações dadas (pressupostas para uma onda plana livre):
- A forma geral de uma onda plana é
, onde é uma amplitude (complexa em geral), é o vetor de onda e a frequência angular. - A relação entre vetor de onda e momento é
. - Para uma partícula livre, a relação de dispersão satisfaz
(por exemplo, no caso não-relativístico).
Pergunta a responder:
- Mostrar algebraicamente que
representa uma onda plana com vetor de onda (ou seja, com momento ).
Passo 2
Escrever explicitamente
e avaliar
.
Começando da forma padrão,
Trocar
por
:
pois
, isto é, substituindo
muda o sinal do segundo termo.
Passo 3
Tomar o conjugado complexo de
para obter
.
A conjugação complexa troca
por
e conjugada a amplitude
em
. Assim
Agora reescreve-se o expoente de forma a evidenciar o vetor de onda invertido:
portanto
Passo 4
Interpretação: identificar o vetor de onda e a frequência na expressão obtida.
A expressão obtida tem a forma de uma onda plana padrão,
com
e
. Ou seja, é uma onda plana com vetor de onda
e mesma frequência
.
Para partículas livres (caso usual de uma “plane wave” no enunciado) vale
, então não há contradição em manter
.
Passo 5
Relacionar o vetor de onda com o momento e mostrar que o momento inverte de sinal.
Como
, a nova onda tem momento
Para reforçar com o operador momento, aplicar
sobre
:
Logo
é autovetor do operador momento com autovalor
.
Passo 6
Comentário físico e conclusão didática (breve e prática para a prova).
O procedimento que fizemos (trocar
e tomar conjugado complexo) é exatamente a ação do operador de reversão temporal para partículas sem spin: a operação de time reversal age como
. Para uma onda plana livre isso inverte o sinal do vetor de onda (e, portanto, do momento) mantendo a energia (frequência) porque a relação de dispersão é par em
. Na prática, num problema de prova, basta escrever a forma exponencial da onda plana, substituir
, tomar conjugado e identificar o novo
.