Let
be the momentum-space wave function for state
, that is,
. Is the momentum-space wave function for the timereversed state
given by
, or
? Justify your answer.
Passo 1
O enunciado dá que a função de onda no espaço de momento do estado
é
A pergunta é: qual é a função de onda no espaço de momento do estado temporariamente invertido
? Ou seja, qual é
em termos de
? As alternativas fornecidas são
,
,
ou
.
Passo 2
Conceitos importantes (explicados devagarinho):
- O operador de reversão temporal
é antiunitário. Isso significa duas coisas: - É antilinear:
(os escalares são complexoconjugados). - Preserva produto interno no sentido
.
- É antilinear:
- Para autoestados de momento (considerando partícula sem spin, ou desprezando fatores de spin por enquanto), a reversão temporal inverte o momento:
é proporcional a
. Podemos escrever, permitindo uma fase possível que depende de
, Essa fase é uma convenção (pode ser escolhida) e não muda as probabilidades; ela pode aparecer no resultado final como um fator de fase. - Uma maneira prática de manipular antiunitaridade é escrever
, onde é o operador de conjugação complexa numa base (aqui escolhemos a base de momentos) e é unitário. O operador age na representação de momento fazendo conjugação das amplitudes: se são as amplitudes de , então tem amplitudes .
Passo 3
Calcular explicitamente a amplitude buscada:
Usando
obtemos
Agora escrevemos
em base de momento; como
apenas complexoconjuga as amplitudes,
Substituindo:
Avaliaremos
. Como
é unitário e age sobre autovetores de momento como
, tem-se
A integral collapsa por causa do delta:
Passo 4
Interpretação e conclusão final didática:
- O fator
é apenas uma fase que depende da convenção de fase escolhida para atuando sobre os autoestados de momento; essa fase não altera probabilidades, apenas o fator global da amplitude. - O comportamento essencial (independentemente da convenção de fase) é que a amplitude para
em é a conjugada complexa da amplitude original avaliada em . Ou seja, a operação de reversão temporal toma a complexoconjugação e inverte o momento.
Portanto, entre as alternativas dadas a correta (ignorando um possível fator de fase convencional) é