Let \varphi\left(\mathbf{p}^{\prime}\right) be the momentum-space wave function for state |\alpha\rangle, that is, \varphi\left(\mathbf{p}^{\prime}\right)=\left\langle\mathbf{p}^{\prime} \mid \alpha\right\rangle. Is the momentum-space wave function for the timereversed state \boldsymbol{\Theta}|\alpha\rangle given by \varphi\left(\mathbf{p}^{\prime}\right), \varphi\left(-\mathbf{p}^{\prime}\right), \varphi^{*}\left(\mathbf{p}^{\prime}\right), or \varphi^{*}\left(-\mathbf{p}^{\prime}\right) ? Justify your answer.

Passo 1

O enunciado dá que a função de onda no espaço de momento do estado |\alpha\rangle é
\varphi\!\left(\mathbf{p}^{\prime}\right)=\left\langle\mathbf{p}^{\prime}\mid\alpha\right\rangle.
A pergunta é: qual é a função de onda no espaço de momento do estado temporariamente invertido \Theta|\alpha\rangle? Ou seja, qual é
\left\langle\mathbf{p}^{\prime}\mid\Theta\mid\alpha\right\rangle
em termos de \varphi? As alternativas fornecidas são \varphi\!\left(\mathbf{p}^{\prime}\right), \varphi\!\left(-\mathbf{p}^{\prime}\right), \varphi^{*}\!\left(\mathbf{p}^{\prime}\right) ou \varphi^{*}\!\left(-\mathbf{p}^{\prime}\right).

Passo 2

Conceitos importantes (explicados devagarinho):
  • O operador de reversão temporal \Theta é antiunitário. Isso significa duas coisas:
    1. É antilinear: \Theta\big(a|\psi\rangle + b|\chi\rangle\big)=a^{*}\Theta|\psi\rangle + b^{*}\Theta|\chi\rangle (os escalares são complexoconjugados).
    2. Preserva produto interno no sentido \langle\Theta\psi|\Theta\chi\rangle=\langle\chi|\psi\rangle.
  • Para autoestados de momento (considerando partícula sem spin, ou desprezando fatores de spin por enquanto), a reversão temporal inverte o momento: \Theta\ket{\mathbf{p}'} é proporcional a \ket{-\mathbf{p}'}. Podemos escrever, permitindo uma fase possível que depende de \mathbf{p}', \Theta\ket{\mathbf{p}'}=e^{i\theta(\mathbf{p}')}\ket{-\mathbf{p}'}.Essa fase é uma convenção (pode ser escolhida) e não muda as probabilidades; ela pode aparecer no resultado final como um fator de fase.
  • Uma maneira prática de manipular antiunitaridade é escrever \Theta=U K, onde K é o operador de conjugação complexa numa base (aqui escolhemos a base de momentos) e U é unitário. O operador K age na representação de momento fazendo conjugação das amplitudes: se \varphi(\mathbf{p}') são as amplitudes de |\alpha\rangle, então K|\alpha\rangle tem amplitudes \varphi(\mathbf{p}')^{*}.

Passo 3

Calcular explicitamente a amplitude buscada:
\Phi_{\Theta}(\mathbf{p}')\equiv\langle\mathbf{p}'|\Theta|\alpha\rangle.
Usando \Theta=U K obtemos
\langle\mathbf{p}'|\Theta|\alpha\rangle=\langle\mathbf{p}'|U K|\alpha\rangle=\langle U^{\dagger}\mathbf{p}'|K|\alpha\rangle.
Agora escrevemos K|\alpha\rangle em base de momento; como K apenas complexoconjuga as amplitudes,
K|\alpha\rangle=\int d^{3}p''\,\varphi(\mathbf{p}'')^{*}\,|\mathbf{p}''\rangle.
Substituindo:
\langle\mathbf{p}'|\Theta|\alpha\rangle=\int d^{3}p''\,\varphi(\mathbf{p}'')^{*}\,\langle U^{\dagger}\mathbf{p}'|\mathbf{p}''\rangle.
Avaliaremos \langle U^{\dagger}\mathbf{p}'|\mathbf{p}''\rangle. Como U é unitário e age sobre autovetores de momento como U|\mathbf{p}''\rangle=e^{i\theta(\mathbf{p}'')}|-\mathbf{p}''\rangle, tem-se
\langle U^{\dagger}\mathbf{p}'|\mathbf{p}''\rangle=\langle\mathbf{p}'|U|\mathbf{p}''\rangle^{*} = \big(e^{i\theta(\mathbf{p}'')}\langle\mathbf{p}'|-\mathbf{p}''\rangle\big)^{*} = e^{-i\theta(\mathbf{p}'')} \delta(\mathbf{p}'+\mathbf{p}'').
A integral collapsa por causa do delta:
\langle\mathbf{p}'|\Theta|\alpha\rangle = e^{-i\theta(-\mathbf{p}')}\,\varphi(-\mathbf{p}')^{*}.

Passo 4

Interpretação e conclusão final didática:
  • O fator e^{-i\theta(-\mathbf{p}')} é apenas uma fase que depende da convenção de fase escolhida para \Theta atuando sobre os autoestados de momento; essa fase não altera probabilidades, apenas o fator global da amplitude.
  • O comportamento essencial (independentemente da convenção de fase) é que a amplitude para \Theta|\alpha\rangle em \mathbf{p}' é a conjugada complexa da amplitude original avaliada em -\mathbf{p}'. Ou seja, a operação de reversão temporal toma a complexoconjugação e inverte o momento.
Portanto, entre as alternativas dadas a correta (ignorando um possível fator de fase convencional) é
\varphi^{*}\!\left(-\mathbf{p}'\right).

Resposta

\varphi^{*}\left(-\mathbf{p}^{\prime}\right)

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