\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}-2 y^{3}-x y^{2}+2 x^{2} y}{x^{2}-y^{2}}
\begin{aligned} & x^{3}+2 x^{2} y=x^{2}(x+2 y) \\\ & -2 y^{3}-x y^{2}=-y^{2}(2 y+x) \end{aligned}
Temos uma indeterminação 0/0, para resolver, usaremos fatoração:
\begin{aligned} & \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}-2 y^{3}-x y^{2}+2 x^{2} y}{x^{2}-y^{2}}=\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}(x+2 y)-y^{2}(2 y+x)}{x^{2}-y^{2}} \\ & =\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\left(x^{2}-y^{2}\right)(x+2 y)}{x^{2}-y^{2}}=\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x+2 y=0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}-2y^{3}-x y^{2}+2x^{2}y}{x^{2}-y^{2}}.
Informações extraídas do enunciado que importam agora:
  • A expressão no numerador é x^{3}-2y^{3}-x y^{2}+2x^{2}y.
  • O denominador é x^{2}-y^{2}.
  • Ao substituir x=0 e y=0 obtemos 0/0, ou seja, uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 2

Vamos manipular algebraicamente o numerador para ver se é possível simplificar a expressão. Primeiro, reescrevo o numerador agrupando termos que têm fatores em comum:
x^{3}+2x^{2}y = x^{2}(x+2y),
-2y^{3}-x y^{2} = -y^{2}(2y+x).
Somando essas duas partes obtemos o numerador original escrito como
x^{3}-2y^{3}-x y^{2}+2x^{2}y = x^{2}(x+2y)-y^{2}(2y+x).

Passo 3

Note que 2y+x e x+2y são a mesma expressão (a ordem dos termos não altera). Então podemos fatorar x+2y em evidência:
x^{2}(x+2y)-y^{2}(2y+x) = x^{2}(x+2y)-y^{2}(x+2y) = (x^{2}-y^{2})(x+2y).
Portanto a expressão original pode ser escrita como
\frac{x^{3}-2y^{3}-x y^{2}+2x^{2}y}{x^{2}-y^{2}} = \frac{(x^{2}-y^{2})(x+2y)}{x^{2}-y^{2}}.

Passo 4

Quando se faz uma simplificação do tipo cancelar x^{2}-y^{2} no numerador e no denominador, é preciso lembrar que isso é válido apenas nos pontos onde x^{2}-y^{2}\neq0 (ou seja, onde a função original está definida). Defino as funções
f(x,y)=\frac{x^{3}-2y^{3}-x y^{2}+2x^{2}y}{x^{2}-y^{2}}\qquad\text{(quando }x^{2}-y^{2}\neq0\text{)}
e
g(x,y)=x+2y\qquad\text{(definida em todo lugar).}
Pela fatoração obtida no passo anterior, tem-se f(x,y)=g(x,y) para todo (x,y) tal que x^{2}-y^{2}\neq0. Ou seja, fora das retas x=\pm y, a função dada coincide com x+2y.

Passo 5

A ideia para o limite é: se f=g em todos os pontos suficientemente próximos de (0,0) exceto possivelmente sobre um conjunto onde a função não está definida, então o limite de f quando (x,y)\to(0,0) (considerando apenas pontos do domínio) é o mesmo que o limite de g quando (x,y)\to(0,0). A função g(x,y)=x+2y é um polinômio em x e y, logo é contínua em todo ponto, em particular em (0,0). Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y) = g(0,0)=0+2\cdot 0 = 0.

Passo 6

Para reforçar a razão pela qual essa simplificação é válida para o limite: o limite em (0,0) considera valores de (x,y) que se aproximam de (0,0) pelos pontos do domínio da função. Mesmo que a função original não esteja definida sobre as retas x=\pm y, em qualquer vizinhança de (0,0) existem pontos onde x^{2}-y^{2}\neq0, e nesses pontos a função coincide com x+2y. Como x+2y tende a 0 quando (x,y)\to(0,0), isso força o limite de f a ser 0. Uma verificação por caminhos também é simples: tomando y=mx com m\neq\pm1 (para que o denominador não anule), a expressão simplificada dá x+2mx=(1+2m)x, que tende a 0 quando x\to0. Isso é consistente com o valor obtido por continuidade de g.

Passo 7

Conclusão: a fatoração permitiu cancelar o fator comum x^{2}-y^{2} fora do conjunto onde o denominador é zero, reduzindo a expressão a uma função contínua x+2y. Assim o limite existe e vale o valor da função contínua em (0,0), isto é 0.

Resposta

0

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