Temos uma indeterminação 0/0, para resolver, usaremos fatoração:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações extraídas do enunciado que importam agora:
- A expressão no numerador é
. - O denominador é
. - Ao substituir
e obtemos , ou seja, uma indeterminação do tipo .
Passo 2
Vamos manipular algebraicamente o numerador para ver se é possível simplificar a expressão. Primeiro, reescrevo o numerador agrupando termos que têm fatores em comum:
Somando essas duas partes obtemos o numerador original escrito como
Passo 3
Note que
e
são a mesma expressão (a ordem dos termos não altera). Então podemos fatorar
em evidência:
Portanto a expressão original pode ser escrita como
Passo 4
Quando se faz uma simplificação do tipo cancelar
no numerador e no denominador, é preciso lembrar que isso é válido apenas nos pontos onde
(ou seja, onde a função original está definida). Defino as funções
e
Pela fatoração obtida no passo anterior, tem-se
para todo
tal que
. Ou seja, fora das retas
, a função dada coincide com
.
Passo 5
A ideia para o limite é: se
em todos os pontos suficientemente próximos de
exceto possivelmente sobre um conjunto onde a função não está definida, então o limite de
quando
(considerando apenas pontos do domínio) é o mesmo que o limite de
quando
. A função
é um polinômio em
e
, logo é contínua em todo ponto, em particular em
. Portanto
Passo 6
Para reforçar a razão pela qual essa simplificação é válida para o limite: o limite em
considera valores de
que se aproximam de
pelos pontos do domínio da função. Mesmo que a função original não esteja definida sobre as retas
, em qualquer vizinhança de
existem pontos onde
, e nesses pontos a função coincide com
. Como
tende a
quando
, isso força o limite de
a ser
. Uma verificação por caminhos também é simples: tomando
com
(para que o denominador não anule), a expressão simplificada dá
, que tende a
quando
. Isso é consistente com o valor obtido por continuidade de
.
Passo 7
Conclusão: a fatoração permitiu cancelar o fator comum
fora do conjunto onde o denominador é zero, reduzindo a expressão a uma função contínua
. Assim o limite existe e vale o valor da função contínua em
, isto é
.