i)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá. O objetivo é calcular o limite
Informações relevantes dadas:
- O ponto de aproximação é
. - Ao substituir diretamente
obtemos uma indeterminação do tipo (isso foi informado no enunciado). - O enunciado sugere usar fatoração para resolver a indeterminação.
Passo 2
Verificação da indeterminação ao substituir direto. Calcular numerador e denominador em
:
Portanto, a forma
está confirmada e precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação antes de avaliar o limite.
Passo 3
Fatoração do numerador. Reconhecer a diferença de quadrados em
:
Substituindo na expressão original obtemos (escrevendo a igualdade como identidade válida para os pontos em que as expressões são definidas):
Passo 4
Cancelamento de fatores e simplificação algébrica. Como estamos calculando um limite em torno de
, podemos trabalhar em uma vizinhança pontuada onde
e
(perto de
isso é possível). Nessa vizinhança podemos cancelar o fator
que aparece no numerador e denominador:
Agora cancelar um fator
(novamente válido para
):
Assim a expressão complicada original é igual à função mais simples
para todos
bem próximos de
com
e
. Essa manipulação removeu a indeterminação.
Passo 5
Justificativa pela continuidade e possibilidade de substituição. A função
é uma função racional em
e é contínua em qualquer ponto onde o denominador
é não nulo. No ponto
temos
, então
é contínua em
. Para limites de funções contínuas vale a propriedade
Como a expressão original coincide com
na vizinhança pontuada necessária, o limite da expressão original é igual a
.
Passo 6
Avaliação numérica do limite substituindo
em
. Calcular: