i) \lim _{(x, y) \rightarrow(1,-1)} \frac{3 x^{2}\left(y^{2}-1\right)}{x y^{2}(y+1)} \quad \begin{aligned} & \text { Temos uma indeterminação } 0 / 0 \text {, para } \\\ & \text { resolver, usaremos fatoração. }\end{aligned}çãçã
\begin{aligned} \lim _{(x, y) \rightarrow(1,-1)} \frac{3 x^{2}\left(y^{2}-1\right)}{x y^{2}(y+1)} & =\lim _{(x, y) \rightarrow(1,-1)} \frac{3 x^{2}(y-1)(y+1)}{x y^{2}(y+1)} \\ & =\lim _{(x, y) \rightarrow(1,-1)} \frac{3 x^{2}(y-1)}{x y^{2}}=\frac{-6}{1}=-6 \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá. O objetivo é calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(1,-1)} \frac{3x^{2}\bigl(y^{2}-1\bigr)}{x y^{2}(y+1)}.
Informações relevantes dadas:
  • O ponto de aproximação é (1,-1).
  • Ao substituir diretamente (x,y)=(1,-1) obtemos uma indeterminação do tipo \frac{0}{0} (isso foi informado no enunciado).
  • O enunciado sugere usar fatoração para resolver a indeterminação.

Passo 2

Verificação da indeterminação ao substituir direto. Calcular numerador e denominador em (1,-1):
\text{numerador} = 3\cdot 1^{2}\bigl((-1)^{2}-1\bigr)=3\cdot 1\cdot(1-1)=3\cdot 0=0,
\text{denominador} = 1\cdot(-1)^{2}\cdot(-1+1)=1\cdot 1\cdot 0=0.
Portanto, a forma \frac{0}{0} está confirmada e precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação antes de avaliar o limite.

Passo 3

Fatoração do numerador. Reconhecer a diferença de quadrados em \;y^{2}-1\;:
y^{2}-1=(y-1)(y+1).
Substituindo na expressão original obtemos (escrevendo a igualdade como identidade válida para os pontos em que as expressões são definidas):
\frac{3x^{2}\bigl(y^{2}-1\bigr)}{x y^{2}(y+1)} = \frac{3x^{2}(y-1)(y+1)}{x y^{2}(y+1)}.

Passo 4

Cancelamento de fatores e simplificação algébrica. Como estamos calculando um limite em torno de (1,-1), podemos trabalhar em uma vizinhança pontuada onde y\neq -1 e x\neq 0 (perto de x=1 isso é possível). Nessa vizinhança podemos cancelar o fator (y+1) que aparece no numerador e denominador:
\frac{3x^{2}(y-1)(y+1)}{x y^{2}(y+1)} = \frac{3x^{2}(y-1)}{x y^{2}}.
Agora cancelar um fator x (novamente válido para x\neq 0):
\frac{3x^{2}(y-1)}{x y^{2}}=\frac{3x(y-1)}{y^{2}}.
Assim a expressão complicada original é igual à função mais simples
g(x,y)=\frac{3x(y-1)}{y^{2}}
para todos (x,y) bem próximos de (1,-1) com y\neq -1 e x\neq 0. Essa manipulação removeu a indeterminação.

Passo 5

Justificativa pela continuidade e possibilidade de substituição. A função g(x,y)=\dfrac{3x(y-1)}{y^{2}} é uma função racional em x,y e é contínua em qualquer ponto onde o denominador y^{2} é não nulo. No ponto (1,-1) temos y^{2}=(-1)^{2}=1\neq 0, então g é contínua em (1,-1). Para limites de funções contínuas vale a propriedade
\lim_{(x,y)\to(1,-1)} g(x,y)=g(1,-1).
Como a expressão original coincide com g na vizinhança pontuada necessária, o limite da expressão original é igual a g(1,-1).

Passo 6

Avaliação numérica do limite substituindo (1,-1) em g. Calcular:
g(1,-1)=\frac{3\cdot 1\cdot\bigl(-1-1\bigr)}{(-1)^{2}}=\frac{3\cdot 1\cdot(-2)}{1}=\frac{-6}{1}=-6.

Resposta

-6

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