Como os limites ao longo de \mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}, \mathrm{C}_{3} e \mathrm{C}_{4} são iguais a 0 , não podemos concluir que o limite não existe. Porém, caso o limite exista, teremos:
Esse limite poderia ter sido resolvido usando a consequência 2 do teorema do confronto, o limite será 0 , pois 3 y tende para 0 e x^{2} / x^{2}+y^{2} é limitada.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas e o que se deve responder:
A função considerada é f(x,y)=\dfrac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, definida em pontos (x,y) com (x,y)\neq(0,0).
O ponto de interesse é (0,0).
A pergunta é se o limite existe quando (x,y) tende a (0,0) e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.
Passo 2
Primeiro vamos testar alguns caminhos simples para conjecturar o valor do limite (isso não prova, apenas sugere):
Todos esses caminhos dão valor 0, então a hipótese natural é que o limite é 0. Agora precisamos provar rigorosamente que é realmente 0 para qualquer direção de aproximação.
Passo 3
Vou usar a definição de limite em \mathbb{R}^{2}: dizer que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
Vamos estimar (fazer um majorante) a expressão \left|\dfrac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right| por algo que dependa apenas de \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Primeiro note que, para (x,y)\neq(0,0),
Agora use que \dfrac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le 1 (pois x^{2}\le x^{2}+y^{2}). Assim
\frac{3x^{2}|y|}{x^{2}+y^{2}}\le 3|y|.
Explicando lenta e didaticamente: a fração \dfrac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} é um número entre 0 e 1 porque o numerador é menor ou igual ao denominador positivo.
Passo 5
Agora relacionamos |y| com a distância ao ponto (0,0). Seja r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Então |y|\le r porque |y|=\sqrt{y^{2}}\le\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r. Com isso obtemos a estimativa final