C) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}
  • Ao longo de \mathrm{C}_{1}: \mathrm{x}=0 e \mathrm{y} \neq 0, temos:
C_{1}: x=0 \Rightarrow f(0, y)=\frac{0}{y^{2}}=0 \Rightarrow \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} 0=0
  • Ao longo de \mathrm{C}_{2}: \mathrm{y}=0 e \mathrm{x} \neq 0, temos:
C_{2}: y=0 \Rightarrow f(x, 0)=\frac{0}{x^{2}}=0 \Rightarrow \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} 0=0
  • Ao longo de \mathrm{C}_{3}: \mathrm{y}=\mathrm{x}, temos:
C_{3}: y=x \Rightarrow f(x, x)=\frac{3 x^{3}}{x^{2}+x^{2}}=\frac{3 x}{2} \Rightarrow \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x}{2}=0
  • Ao longo de \mathrm{C}_{4}: \mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}, temos:
C_{4}: y=x^{2} \Rightarrow f\left(x, x^{2}\right)=\frac{3 x^{4}}{x^{2}+x^{4}}=\frac{3 x^{2}}{1+x^{2}} \Rightarrow \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x^{2}}{1+x^{2}}=0
Como os limites ao longo de \mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}, \mathrm{C}_{3} e \mathrm{C}_{4} são iguais a 0 , não podemos concluir que o limite não existe. Porém, caso o limite exista, teremos:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}=0
  • Vamos tentar provar, usando a definição de limite: dado \varepsilon>0, existe \delta>0, tais que
\begin{gathered} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\\ |(x, y)|<\delta \Rightarrow\left|\left(3 x^{2} y\right) /\left(x^{2}+y^{2}\right)\right|<\varepsilon . \end{gathered}
Supondo que a inequação \left|\left(3 x^{2} y\right) /\left(x^{2}+y^{2}\right)\right|<\varepsilon seja verdadeira, temos:
\left|\frac{3 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}\right|=\frac{3 x^{2}|y|}{x^{2}+y^{2}}<\frac{3\left(x^{2}+y^{2}\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}+y^{2}}=3|(x, y)|<3 \delta=\varepsilon \Rightarrow \delta=\frac{\varepsilon}{3}
Pois |y|<\sqrt{x^{2}+y^{2}} e x^{2}<x^{2}+y^{2}
  • Basta considerar \delta=\varepsilon / 3 e está provado que
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}=0
Esse limite poderia ter sido resolvido usando a consequência 2 do teorema do confronto, o limite será 0 , pois 3 y tende para 0 e x^{2} / x^{2}+y^{2} é limitada.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas e o que se deve responder:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, definida em pontos (x,y) com (x,y)\neq(0,0).
  • O ponto de interesse é (0,0).
  • A pergunta é se o limite existe quando (x,y) tende a (0,0) e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.

Passo 2

Primeiro vamos testar alguns caminhos simples para conjecturar o valor do limite (isso não prova, apenas sugere):
  • Ao longo de C_1:\; x=0 temos
f(0,y)=\frac{3\cdot0^{2}\cdot y}{0^{2}+y^{2}}=0.
  • Ao longo de C_2:\; y=0 temos
f(x,0)=\frac{3x^{2}\cdot 0}{x^{2}+0^{2}}=0.
  • Ao longo de C_3:\; y=x temos
f(x,x)=\frac{3x^{2}\cdot x}{x^{2}+x^{2}}=\frac{3x^{3}}{2x^{2}}=\frac{3x}{2}\to 0\quad\text{quando }x\to0.
  • Ao longo de C_4:\; y=x^{2} temos
f(x,x^{2})=\frac{3x^{2}\cdot x^{2}}{x^{2}+x^{4}}=\frac{3x^{4}}{x^{2}(1+x^{2})}=\frac{3x^{2}}{1+x^{2}}\to 0\quad\text{quando }x\to0.
Todos esses caminhos dão valor 0, então a hipótese natural é que o limite é 0. Agora precisamos provar rigorosamente que é realmente 0 para qualquer direção de aproximação.

Passo 3

Vou usar a definição de limite em \mathbb{R}^{2}: dizer que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x,y)-L|<\varepsilon.
Aqui queremos provar que L=0. Ou seja, dado \varepsilon>0 precisamos encontrar \delta>0 tal que
0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \quad\Rightarrow\quad \left|\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right|<\varepsilon.

Passo 4

Vamos estimar (fazer um majorante) a expressão \left|\dfrac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right| por algo que dependa apenas de \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Primeiro note que, para (x,y)\neq(0,0),
\left|\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right| =\frac{3x^{2}|y|}{x^{2}+y^{2}}.
Agora use que \dfrac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le 1 (pois x^{2}\le x^{2}+y^{2}). Assim
\frac{3x^{2}|y|}{x^{2}+y^{2}}\le 3|y|.
Explicando lenta e didaticamente: a fração \dfrac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} é um número entre 0 e 1 porque o numerador é menor ou igual ao denominador positivo.

Passo 5

Agora relacionamos |y| com a distância ao ponto (0,0). Seja r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Então |y|\le r porque |y|=\sqrt{y^{2}}\le\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r. Com isso obtemos a estimativa final
\left|\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right|\le 3|y|\le 3r=3\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Portanto a função em módulo é majorada por 3\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 6

Usando a estimativa do passo anterior, escolha \delta=\dfrac{\varepsilon}{3}. Então, se 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta segue que
\left|\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right|\le 3\sqrt{x^{2}+y^{2}}<3\delta=3\cdot\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon.
Isso mostra exatamente a condição da definição de limite com L=0. Assim o limite existe e vale 0.

Passo 7

(Finalizando com uma interpretação alternativa e intuição.) Em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta com r>0 temos
\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{3r^{2}\cos^{2}\theta\cdot r\sin\theta}{r^{2}}=3r\cos^{2}\theta\sin\theta.
Tomando módulo,
\left|3r\cos^{2}\theta\sin\theta\right|\le 3r,
e como r\to 0 quando (x,y)\to(0,0), a expressão tende a 0. Isso dá a mesma conclusão pela visão polar e reforça a escolha de \delta acima.

Resposta

\displaystyle 0

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