Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações iniciais:
- Estamos calculando um limite de função de duas variáveis quando
se aproxima de . - Ao substituir diretamente, o numerador tende a
e o denominador tende a , logo temos uma forma indeterminada do tipo . - A expressão pode ser manipulada algébrica e analiticamente para eliminar a indeterminação.
Passo 2
Fatorar a expressão para separar as dependências de
e de
. Note que
Explicando com calma: multiplicação e divisão são operações algébricas que permitem escrever a fração como produto de
por
. Isso é útil porque o primeiro fator depende só de
e o segundo só de
.
Passo 3
Usar a propriedade de limites para produto de funções: se
e
existem e são finitos, então
Aqui podemos aplicar essa propriedade com
e
, desde que calculemos os limites de cada um.
Passo 4
Calcular
.
Justificativa didática:
é um polinômio em
, e polinômios são contínuos. Em limites de várias variáveis, se uma função depende só de uma variável e é contínua, basta substituir o valor dessa variável no ponto. Assim
Explicando mais: a dependência em
aqui é irrelevante porque
não envolve
; conforme
o coordenado
vai para
.
Passo 5
Calcular
.
Observação didática: a expressão
depende somente de
, então o limite em duas variáveis reduz ao limite em uma variável:
Agora usaremos o limite trigonométrico fundamental:
. Vou explicar rapidamente a razão disso (prova esboçada com o teorema do aperto / squeeze).
Prova curta (squeeze theorem):
- Para
próximo de e vale, por geometria do círculo unitário (ou por desigualdades trigonométricas conhecidas), para :
- Como
e o limite da constante é , pelo teorema do aperto (squeeze theorem) segue que
Para
a desigualdade é análoga pela simetria de seno e cosseno, então o limite é
por todos os lados.
Passo 6
Combinar os resultados usando a propriedade do produto de limites. Encontramos
Portanto
Passo 7
Comentário de reforço — como resolver algo parecido na prova:
- Sempre tente separar fatores que dependem de variáveis diferentes; se um fator depende só de
e o outro só de , os limites podem reduzir a limites univariados. - Lembre-se do limite fundamental
; ele resolve muitas indeterminações que aparecem com seno. - Verifique continuidade (polinômios, polinomiais em
são contínuos) para poder substituir diretamente.