\lim _{(x, y) \rightarrow(3,0)} \frac{x^{3} \sin y}{y} \quad \begin{aligned} & \text { Temos uma indeterminação 0/0, para } \\\ & \text { resolver, usaremos o resultado da letra e) e o } \\\ & \text { limite fundamental trigonométrico. }\end{aligned}çãé
\begin{aligned} \lim _{(x, y) \rightarrow(3,0)} \frac{x^{3} \sin y}{y} & =\lim _{(x, y) \rightarrow(3,0)} x^{3} \lim _{(x, y) \rightarrow(3,0)} \frac{\sin y}{y} \\ & =\lim _{x \rightarrow 3} x^{3} \lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sin y}{y}=\left(3^{3}\right) \cdot 1=27 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(3,0)} \frac{x^{3}\sin y}{y}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • Estamos calculando um limite de função de duas variáveis quando (x,y) se aproxima de (3,0).
  • Ao substituir diretamente, o numerador tende a 3^{3}\cdot\sin 0 = 27\cdot 0 = 0 e o denominador tende a 0, logo temos uma forma indeterminada do tipo 0/0.
  • A expressão pode ser manipulada algébrica e analiticamente para eliminar a indeterminação.

Passo 2

Fatorar a expressão para separar as dependências de x e de y. Note que
\frac{x^{3}\sin y}{y}=x^{3}\cdot\frac{\sin y}{y}.
Explicando com calma: multiplicação e divisão são operações algébricas que permitem escrever a fração como produto de x^{3} por \sin y / y. Isso é útil porque o primeiro fator depende só de x e o segundo só de y.

Passo 3

Usar a propriedade de limites para produto de funções: se \lim_{(x,y)\to(3,0)} f(x,y)=L e \lim_{(x,y)\to(3,0)} g(x,y)=M existem e são finitos, então
\lim_{(x,y)\to(3,0)} f(x,y)\,g(x,y)=L\cdot M.
Aqui podemos aplicar essa propriedade com f(x,y)=x^{3} e g(x,y)=\dfrac{\sin y}{y}, desde que calculemos os limites de cada um.

Passo 4

Calcular \lim_{(x,y)\to(3,0)} x^{3}.
Justificativa didática: x^{3} é um polinômio em x, e polinômios são contínuos. Em limites de várias variáveis, se uma função depende só de uma variável e é contínua, basta substituir o valor dessa variável no ponto. Assim
\lim_{(x,y)\to(3,0)} x^{3}=\lim_{x\to 3} x^{3}=3^{3}=27.
Explicando mais: a dependência em y aqui é irrelevante porque x^{3} não envolve y; conforme (x,y)\to(3,0) o coordenado x vai para 3.

Passo 5

Calcular \lim_{(x,y)\to(3,0)} \dfrac{\sin y}{y}.
Observação didática: a expressão \dfrac{\sin y}{y} depende somente de y, então o limite em duas variáveis reduz ao limite em uma variável:
\lim_{(x,y)\to(3,0)} \frac{\sin y}{y}=\lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y}.
Agora usaremos o limite trigonométrico fundamental: \displaystyle \lim_{y\to 0}\dfrac{\sin y}{y}=1. Vou explicar rapidamente a razão disso (prova esboçada com o teorema do aperto / squeeze).
Prova curta (squeeze theorem):
  • Para y próximo de 0 e y\neq 0 vale, por geometria do círculo unitário (ou por desigualdades trigonométricas conhecidas), para y>0:
\cos y \le \frac{\sin y}{y} \le 1.
  • Como \lim_{y\to 0}\cos y=1 e o limite da constante 1 é 1, pelo teorema do aperto (squeeze theorem) segue que
\lim_{y\to 0}\frac{\sin y}{y}=1.
Para y<0 a desigualdade é análoga pela simetria de seno e cosseno, então o limite é 1 por todos os lados.

Passo 6

Combinar os resultados usando a propriedade do produto de limites. Encontramos
\lim_{(x,y)\to(3,0)} x^{3}=27 \qquad\text{e}\qquad \lim_{y\to 0}\frac{\sin y}{y}=1.
Portanto
\lim_{(x,y)\to(3,0)} \frac{x^{3}\sin y}{y} = \left(\lim_{(x,y)\to(3,0)} x^{3}\right)\cdot\left(\lim_{(x,y)\to(3,0)} \frac{\sin y}{y}\right) =27\cdot 1=27.

Passo 7

Comentário de reforço — como resolver algo parecido na prova:
  • Sempre tente separar fatores que dependem de variáveis diferentes; se um fator depende só de x e o outro só de y, os limites podem reduzir a limites univariados.
  • Lembre-se do limite fundamental \displaystyle \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1; ele resolve muitas indeterminações que aparecem com seno.
  • Verifique continuidade (polinômios, polinomiais em x são contínuos) para poder substituir diretamente.

Resposta

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