Temos uma indeterminação 0 / 0, vamos resolver usando a consequência 2: 2y tende para 0 e x^{2} /\left(x^{2}\right. \left.+\mathrm{y}^{2}\right) é limitada, pois \left|\mathrm{x}^{2} /\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}\right)\right| \leq 1, logo, pela consequência 2 , temos:
Informações dadas: a função é \displaystyle f(x,y)=\frac{2x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} definida em pontos (x,y) com (x,y)\neq(0,0) (no ponto (0,0) a expressão tem forma 0/0 se tentarmos substituir). A pergunta é qual é o valor da função quando (x,y) se aproxima de (0,0) por qualquer caminho.
Passo 2
Breve explicação do que significa esse limite e da estratégia que vou usar.
Em limites de duas variáveis, dizer que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L significa que, qualquer que seja o caminho pelo qual (x,y) se aproxima de (0,0), os valores de f(x,y) ficam arbitrariamente perto de L.
Uma ferramenta muito útil é o Teorema do Confronto (também chamado Teorema do Aperto ou “squeeze theorem”): se g(x,y)\le f(x,y)\le h(x,y) e \lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)=\lim_{(x,y)\to(0,0)} h(x,y)=L, então \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L.
Uma maneira prática é obter uma desigualdade do tipo |f(x,y)|\le \varphi(x,y) onde \varphi(x,y)\to0 quando (x,y)\to(0,0). Então f(x,y)\to0.
Passo 3
Vamos manipular a expressão para obter uma desigualdade útil. Primeiro escrevo o valor absoluto:
\left|\frac{2x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right|.
Posso separar 2|y| e a fração não negativa \dfrac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}:
Como |\cos^{2}\theta\sin\theta|\le 1, tem-se \left|2r\cos^{2}\theta\sin\theta\right|\le 2r e 2r\to0 quando r\to0. Novamente obtém-se limite 0. Esse caminho mostra que o resultado não depende do ângulo: a dependência angular é limitada, o fator que vai a zero é r.