a)
b)
b)
Passo 1
Vou deixar bem explícito o que o enunciado pede e quais expressões são dadas.
-
Questões:
- (a) Calcular
. - (b) Calcular
.
- (a) Calcular
-
Informações relevantes do enunciado:
- Em (a) o numerador é o polinômio
, e o denominador é . O ponto de interesse é . - Em (b) o numerador é o polinômio
, e o denominador é . O ponto de interesse é .
- Em (a) o numerador é o polinômio
Passo 2
Primeira ideia que usamos sempre em limites de frações racionais (razão de polinômios): tentar a substituição direta. Se ao substituir
pelo ponto chegamos a uma forma
, isso é uma indeterminação do tipo “zero sobre zero” e significa que devemos manipular algebricamente (normalmente fatorar e simplificar) antes de avaliar o limite. Isso porque a função pode ter uma descontinuidade removível naquele ponto.
Passo 3
Aplicando a substituição direta em (a):
então há indeterminação
e precisamos manipular a expressão.
Passo 4
Para resolver (a) fatoramos o numerador. Aqui usamos a identidade conhecida “diferença de quadrados”:
Aplicando com
e
temos
Passo 5
Substituindo o fatorado em (a):
Agora, para
podemos cancelar o fator comum
, obtendo a expressão simplificada
Como a definição de limite só se preocupa com valores de
próximos de
(mas não necessariamente iguais a
), podemos usar essa forma simplificada para calcular o limite. Assim:
Passo 6
Agora a parte (b). Primeiro tentamos a substituição direta:
novamente indeterminação
. Então vamos fatorar o numerador.
Passo 7
Para fatorar o trinômio
procuramos dois números que multiplicam para
(termo constante) e somam para
(coeficiente de
). Esses números são
e
, porque
e
. Portanto
Passo 8
Substituindo o fatorado em (b):
Para
podemos cancelar
, ficando a expressão simplificada
Como antes, o limite depende dos valores próximos a
, então:
Passo 9
Observação final curta (motivação didática): em limites desse tipo (razão de polinômios) a técnica padrão é
- tentar substituição direta;
- se surgir
, fatorar e simplificar (cancelar fatores comuns); - calcular o limite da expressão simplificada, porque o limite depende do comportamento próximo do ponto, não do valor no ponto em si. Outra técnica possível é usar a regra de L’Hôpital quando a forma for indeterminada e as funções forem diferenciáveis, mas para polinômios a fatoração é mais simples e rápida na prova.
Resposta
(a)
(b)
(b)