a) \lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x+3}
b) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+x-2}{x-1}

Passo 1

Vou deixar bem explícito o que o enunciado pede e quais expressões são dadas.
  • Questões:
    • (a) Calcular \displaystyle \lim_{x\to -3} \frac{x^{2}-9}{x+3}.
    • (b) Calcular \displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x^{2}+x-2}{x-1}.
  • Informações relevantes do enunciado:
    • Em (a) o numerador é o polinômio \,x^{2}-9, e o denominador é \,x+3. O ponto de interesse é x=-3.
    • Em (b) o numerador é o polinômio \,x^{2}+x-2, e o denominador é \,x-1. O ponto de interesse é x=1.

Passo 2

Primeira ideia que usamos sempre em limites de frações racionais (razão de polinômios): tentar a substituição direta. Se ao substituir x pelo ponto chegamos a uma forma \dfrac{0}{0}, isso é uma indeterminação do tipo “zero sobre zero” e significa que devemos manipular algebricamente (normalmente fatorar e simplificar) antes de avaliar o limite. Isso porque a função pode ter uma descontinuidade removível naquele ponto.

Passo 3

Aplicando a substituição direta em (a):
\text{Ao substituir }x=-3\text{ em }\frac{x^{2}-9}{x+3}\text{ obtemos }\frac{(-3)^{2}-9}{-3+3}=\frac{9-9}{0}=\frac{0}{0},
então há indeterminação \dfrac{0}{0} e precisamos manipular a expressão.

Passo 4

Para resolver (a) fatoramos o numerador. Aqui usamos a identidade conhecida “diferença de quadrados”:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando com a=x e b=3 temos
x^{2}-9=(x-3)(x+3).

Passo 5

Substituindo o fatorado em (a):
\frac{x^{2}-9}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}.
Agora, para x\neq -3 podemos cancelar o fator comum x+3, obtendo a expressão simplificada
x-3 \quad \text{(válida para }x\neq -3\text{)}.á
Como a definição de limite só se preocupa com valores de x próximos de -3 (mas não necessariamente iguais a -3), podemos usar essa forma simplificada para calcular o limite. Assim:
\lim_{x\to -3}\frac{x^{2}-9}{x+3}=\lim_{x\to -3}(x-3)=(-3)-3=-6.

Passo 6

Agora a parte (b). Primeiro tentamos a substituição direta:
\text{Ao substituir }x=1\text{ em }\frac{x^{2}+x-2}{x-1}\text{ obtemos }\frac{1^{2}+1-2}{1-1}=\frac{0}{0},
novamente indeterminação \dfrac{0}{0}. Então vamos fatorar o numerador.

Passo 7

Para fatorar o trinômio \,x^{2}+x-2 procuramos dois números que multiplicam para -2 (termo constante) e somam para +1 (coeficiente de x). Esses números são +2 e -1, porque 2\cdot(-1)=-2 e 2+(-1)=1. Portanto
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).

Passo 8

Substituindo o fatorado em (b):
\frac{x^{2}+x-2}{x-1}=\frac{(x+2)(x-1)}{x-1}.
Para x\neq 1 podemos cancelar x-1, ficando a expressão simplificada
x+2 \quad \text{(válida para }x\neq 1\text{)}.á
Como antes, o limite depende dos valores próximos a 1, então:
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}+x-2}{x-1}=\lim_{x\to 1}(x+2)=1+2=3.

Passo 9

Observação final curta (motivação didática): em limites desse tipo (razão de polinômios) a técnica padrão é
  • tentar substituição direta;
  • se surgir \dfrac{0}{0}, fatorar e simplificar (cancelar fatores comuns);
  • calcular o limite da expressão simplificada, porque o limite depende do comportamento próximo do ponto, não do valor no ponto em si. Outra técnica possível é usar a regra de L’Hôpital quando a forma for indeterminada e as funções forem diferenciáveis, mas para polinômios a fatoração é mais simples e rápida na prova.

Resposta

(a) -6
(b) 3

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