O limite da função racional f(x, y)=p(x, y) / q(x, y) é o valor da função no ponto ( \mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0} ), desde que \mathrm{q}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right) \neq 0.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} \frac{3 x+y}{x^{2}+y^{2}+1}=\frac{3(1)+2}{1^{2}+2^{2}+1}=\frac{5}{6} \quad \begin{aligned}
& \text { Se } \mathrm{q}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)=0 \text { e } \\
& \text { p( } \left.\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right) \neq 0 \text {, então o } \\
& \text { limite não existe no } \\
& \text { ponto }\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right) .
\end{aligned}
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(1,2)} \frac{3x+y}{x^{2}+y^{2}+1}.
As informações dadas são:
A função é f(x,y)=\dfrac{3x+y}{x^{2}+y^{2}+1}.
O ponto de interesse é (x_{0},y_{0})=(1,2).
Não há figura nem outras condições; só foi pedido o limite quando (x,y) se aproxima de (1,2).
Passo 2
O que significa (x,y)\to(1,2): isso quer dizer que a distância euclidiana entre (x,y) e (1,2),
\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}},
tende a 0. Em palavras simples: (x,y) se aproxima de (1,2) por qualquer caminho no plano.
Uma ideia prática e muito usada: funções polinomiais em x e y são contínuas em todo lugar; somas, produtos e quocientes (quando o denominador não é zero) também são contínuos. Então, se a função é uma razão de polinômios e o denominador em (1,2) for diferente de zero, podemos calcular o limite simplesmente avaliando a função no ponto. Formalmente: se p e q são polinômios, q(1,2)\neq 0, então
Essa propriedade nasce da continuação: p e q são contínuas, e a composição \dfrac{p}{q} é contínua onde q\neq 0.
Passo 3
Vamos verificar o denominador no ponto (1,2). Calcule:
q(1,2)=1^{2}+2^{2}+1.
Desenvolvendo,
1^{2}=1,\qquad 2^{2}=4,
portanto
q(1,2)=1+4+1=6.
Como q(1,2)=6\neq 0, a função é contínua em (1,2) e podemos substituir diretamente para encontrar o limite.
Agora calcule o numerador no ponto:
p(1,2)=3\cdot 1 + 2 = 3+2 = 5.
Logo o valor da função em (1,2) é
\frac{p(1,2)}{q(1,2)}=\frac{5}{6}.
Passo 4
Para reforçar a intuição, veja que se avaliarmos o limite seguindo qualquer caminho (por exemplo y=2 com x\to1, ou x=1 com y\to2, ou y=2+(x-1) com x\to1), a expressão se aproxima de \dfrac{5}{6} porque os numerador e denominador são funções contínuas que tendem a 5 e 6 respectivamente. Isso confirma que não há dependência de caminho: o limite é o mesmo por qualquer direção.
Passo 5
Comentário sobre o caso oposto (útil para a prova): se em vez disso tivéssemos q(1,2)=0 e p(1,2)\neq 0, então não existe limite finito. Raciocínio rápido: como p(x,y)\to p(1,2)\neq 0 e q(x,y)\to 0, para pontos suficientemente próximos teríamos |p(x,y)| perto de uma constante positiva enquanto |q(x,y)| fica arbitrariamente pequena, fazendo \left|\dfrac{p(x,y)}{q(x,y)}\right| ficar arbitrariamente grande — portanto não há limite finito. (Se tanto p(1,2)=0 quanto q(1,2)=0 aí sim é caso indeterminado e exige análise mais refinada.)
Conclusão direta do cálculo: como q(1,2)\neq 0, o limite é o valor da função em (1,2), que calculamos como \dfrac{5}{6}.