Limites - identificar indeterminação e resolver com L’Hôpital
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas: a função do numerador é
e a do denominador é
. A variável
tende para
. A pergunta é: qual o valor (finito ou infinito) desse limite?
Passo 2
Identificar a indeterminação: quando
temos
e
. Assim a expressão
é do tipo
, que é uma forma indeterminada — isto significa que não dá para concluir o limite só com isso; precisamos de uma técnica (por exemplo a Regra de L’Hôpital) para decidir o comportamento.
Passo 3
Enunciado da Regra de L’Hôpital (versão que vamos usar): se duas funções
e
são diferenciáveis em um intervalo (exceto possivelmente no ponto limite),
próximo do ponto, e o limite
(ou
e
), então
quando o limite do lado direito existe ou é
. Podemos aplicar a regra repetidas vezes se a indeterminação persistir.
Explicação curta: a regra diz que, em uma indeterminação
, podemos substituir numerador e denominador por suas derivadas e o limite mantém o mesmo valor (sob condições técnicas satisfeitas aqui).
Passo 4
Aplicamos L’Hôpital pela primeira vez. Derivadas:
Logo
Ainda é da forma
, então podemos aplicar L’Hôpital novamente.
Passo 5
Segunda aplicação. Derivando numerador e denominador:
Assim
onde simplificamos
. Ainda é
.
Passo 6
Terceira aplicação. Derivando:
Portanto
Ainda
.
Passo 7
Quarta aplicação. Derivando:
Então
pois
. Ainda
.
Passo 8
Quinta (última) aplicação. Derivando:
Logo
Passo 9
Avaliação final:
quando
tende a
porque
e o fator
é apenas uma constante positiva. Pelo princípio da Regra de L’Hôpital (aplicada repetidas vezes), o limite original é o mesmo. Conclusão: o limite é
.
Observação final rápida (motivacional): de forma geral, exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios, por isso
quando
e
. A L’Hôpital formaliza isso por derivação repetida.