Limites - identificar indeterminação e resolver com L’Hôpital
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{2 x}}{x^{5}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{2x}}{x^{5}}.
Informações dadas: a função do numerador é \,e^{2x}\, e a do denominador é \,x^{5}\,. A variável x tende para +\infty. A pergunta é: qual o valor (finito ou infinito) desse limite?

Passo 2

Identificar a indeterminação: quando x\to+\infty temos \,e^{2x}\to+\infty e x^{5}\to+\infty. Assim a expressão \dfrac{e^{2x}}{x^{5}} é do tipo \dfrac{+\infty}{+\infty}, que é uma forma indeterminada — isto significa que não dá para concluir o limite só com isso; precisamos de uma técnica (por exemplo a Regra de L’Hôpital) para decidir o comportamento.

Passo 3

Enunciado da Regra de L’Hôpital (versão que vamos usar): se duas funções f e g são diferenciáveis em um intervalo (exceto possivelmente no ponto limite), g'(x)\neq0 próximo do ponto, e o limite \lim f(x)=\lim g(x)=\pm\infty (ou 0 e 0), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
quando o limite do lado direito existe ou é \pm\infty. Podemos aplicar a regra repetidas vezes se a indeterminação persistir.
Explicação curta: a regra diz que, em uma indeterminação \infty/\infty, podemos substituir numerador e denominador por suas derivadas e o limite mantém o mesmo valor (sob condições técnicas satisfeitas aqui).

Passo 4

Aplicamos L’Hôpital pela primeira vez. Derivadas:
\frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x},\qquad \frac{d}{dx}x^{5}=5x^{4}.
Logo
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{2x}}{x^{5}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{2e^{2x}}{5x^{4}}.
Ainda é da forma \dfrac{+\infty}{+\infty}, então podemos aplicar L’Hôpital novamente.

Passo 5

Segunda aplicação. Derivando numerador e denominador:
\frac{d}{dx}(2e^{2x})=4e^{2x},\qquad \frac{d}{dx}(5x^{4})=20x^{3}.
Assim
\lim_{x\to+\infty}\frac{2e^{2x}}{5x^{4}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{4e^{2x}}{20x^{3}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{2x}}{5x^{3}},
onde simplificamos 4/20=1/5. Ainda é \infty/\infty.

Passo 6

Terceira aplicação. Derivando:
\frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x},\qquad \frac{d}{dx}(5x^{3})=15x^{2}.
Portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{2x}}{5x^{3}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{2e^{2x}}{15x^{2}}.
Ainda \infty/\infty.

Passo 7

Quarta aplicação. Derivando:
\frac{d}{dx}(2e^{2x})=4e^{2x},\qquad \frac{d}{dx}(15x^{2})=30x.
Então
\lim_{x\to+\infty}\frac{2e^{2x}}{15x^{2}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{4e^{2x}}{30x} =\lim_{x\to+\infty}\frac{2e^{2x}}{15x},
pois 4/30=2/15. Ainda \infty/\infty.

Passo 8

Quinta (última) aplicação. Derivando:
\frac{d}{dx}(2e^{2x})=4e^{2x},\qquad \frac{d}{dx}(15x)=15.
Logo
\lim_{x\to+\infty}\frac{2e^{2x}}{15x} =\lim_{x\to+\infty}\frac{4e^{2x}}{15}.

Passo 9

Avaliação final: \dfrac{4e^{2x}}{15} quando x\to+\infty tende a +\infty porque e^{2x}\to+\infty e o fator 4/15 é apenas uma constante positiva. Pelo princípio da Regra de L’Hôpital (aplicada repetidas vezes), o limite original é o mesmo. Conclusão: o limite é +\infty.
Observação final rápida (motivacional): de forma geral, exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios, por isso \dfrac{e^{ax}}{x^{n}}\to+\infty quando a>0 e x\to+\infty. A L’Hôpital formaliza isso por derivação repetida.

Resposta

\;+\infty

Exercícios relacionados