(M019780) Alguns pesquisadores estudaram uma população de peixes por alguns anos e verificaram que, nesse periodo, a quantidade de peixes dessa população pôde ser modelada pela função H(t)=2000 \cdot 2^{0.040}. em que t representa o tempo, em anos, decorrido desde o início do estudo. Durante esse estudo, foram realizadas duas coletas de amostras nessa população: a primeira, quando a população era de 4000 peixes; e a segunda, quando a quantidade de peixes era o dobro da observada na primeira coleta.
Qual é o periodo de tempo, em anos, decorrido entre essas coletas de amostras?
A) 2 .
B) 2,5 .
C) 4 .
D) 5 .
E) 7,5 .

Passo 1

O enunciado dá uma função que descreve a população ao longo do tempo e pede o intervalo de tempo entre duas coletas. As informações relevantes (retiradas do enunciado) são:
  • Função da população (com t em anos): H(t)=2000\cdot 2^{0,40t}.
  • Primeira coleta: a população era 4000 peixes.
  • Segunda coleta: a população era o dobro da primeira coleta, ou seja 8000 peixes.
    O que se pede: determinar o período de tempo, em anos, decorrido entre essas duas coletas.

Passo 2

Vamos escrever as equações que correspondem às duas coletas usando o modelo dado.
Para a primeira coleta (população 4000):
2000\cdot 2^{0,40t_1}=4000.
Para a segunda coleta (população 8000):
2000\cdot 2^{0,40t_2}=8000.
O objetivo é achar \Delta t=t_2-t_1.

Passo 3

Resolver a equação da primeira coleta. Dividindo ambos os lados por 2000:
2^{0,40t_1}= \frac{4000}{2000}=2.
Aqui usamos a propriedade de potências: 2^{1}=2. Portanto, como a base é a mesma, os expoentes devem ser iguais:
0,40t_1=1.
Isolando t_1:
t_1=\frac{1}{0,40}.

Passo 4

Calcular numericamente t_1:
t_1=\frac{1}{0,40}=\frac{1}{0{,}4}=\frac{10}{4}=2{,}5\\ \text{anos}.

Passo 5

Resolver a equação da segunda coleta de forma análoga. Dividindo por 2000:
2^{0,40t_2}= \frac{8000}{2000}=4.
Como 4=2^{2}, igualamos expoentes:
0,40t_2=2.
Isolando t_2:
t_2=\frac{2}{0,40}=\frac{2}{0{,}4}=5\\ \text{anos}.

Passo 6

Calcular o intervalo de tempo entre as coletas:
\Delta t=t_2-t_1=5-2{,}5=2{,}5\\ \text{anos}.

Resposta

B) 2,5

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