(M019780) Alguns pesquisadores estudaram uma população de peixes por alguns anos e verificaram que, nesse periodo, a quantidade de peixes dessa população pôde ser modelada pela função
. em que t representa o tempo, em anos, decorrido desde o início do estudo. Durante esse estudo, foram realizadas duas coletas de amostras nessa população: a primeira, quando a população era de 4000 peixes; e a segunda, quando a quantidade de peixes era o dobro da observada na primeira coleta.
Qual é o periodo de tempo, em anos, decorrido entre essas coletas de amostras?
A) 2 .
B) 2,5 .
C) 4 .
D) 5 .
E) 7,5 .
A) 2 .
B) 2,5 .
C) 4 .
D) 5 .
E) 7,5 .
Passo 1
O enunciado dá uma função que descreve a população ao longo do tempo e pede o intervalo de tempo entre duas coletas. As informações relevantes (retiradas do enunciado) são:
- Função da população (com
em anos): . - Primeira coleta: a população era
peixes. - Segunda coleta: a população era o dobro da primeira coleta, ou seja
peixes.
O que se pede: determinar o período de tempo, em anos, decorrido entre essas duas coletas.
Passo 2
Vamos escrever as equações que correspondem às duas coletas usando o modelo dado.
Para a primeira coleta (população
):
Para a segunda coleta (população
):
O objetivo é achar
.
Passo 3
Resolver a equação da primeira coleta. Dividindo ambos os lados por
:
Aqui usamos a propriedade de potências:
. Portanto, como a base é a mesma, os expoentes devem ser iguais:
Isolando
:
Passo 4
Calcular numericamente
:
Passo 5
Resolver a equação da segunda coleta de forma análoga. Dividindo por
:
Como
, igualamos expoentes:
Isolando
:
Passo 6
Calcular o intervalo de tempo entre as coletas:
Resposta
B)