(M081787H6) Tiè está preparando uma mesa de salgados para o aniversário de seu filho. Nessa mesa, ele colocou uma bandeja onde distribuiu 96 salgados em fileiras, sendo que, em cada fileira, havia 4 salgados a mais que o número de fileiras. Dentre os salgados dessa bandeja, havia uma única empada em cada fileira. Quantas empadas Tiê colocou nessa bandeja de salgados?
A) 8 .
B) 9 .
B) 24 .
D) 46 .
A) 8 .
B) 9 .
B) 24 .
D) 46 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
salgados no total na bandeja. - Os salgados estão distribuídos em fileiras (linhas).
- Em cada fileira há
salgados a mais do que o número de fileiras. - Em cada fileira há exatamente uma empada.
O que o problema pede: - Determinar quantas empadas foram colocadas na bandeja.
Passo 2
Vamos traduzir o enunciado para uma variável matemática para poder montar uma equação:
- Seja
o número de fileiras.
Então, pelo enunciado, o número de salgados em cada fileira é(porque é “4 a mais que o número de fileiras”).
Explicação didática: escolher uma variável é o primeiro passo para transformar o problema em contas. Aqui
é um número inteiro positivo (não faz sentido ter fileiras negativas ou fracionárias).
Passo 3
Escrevemos a relação entre total de salgados, número de fileiras e número de salgados por fileira. O total é o produto do número de fileiras pelo número de itens em cada fileira:
Passo 4
Expandindo a equação para obter uma equação quadrática:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 5
Agora resolvemos a equação quadrática
. Uma maneira eficiente é tentar fatorar em dois binômios com coeficiente 1 no quadrado, isto é, buscar inteiros
e
tais que:
onde
e
.
Vamos procurar dois inteiros cujo produto seja
e cuja soma seja
. Testando fatores de
:
-
e têm produto e soma . Portanto a fatoração é:
Passo 6
Da fatoração
obtemos as raízes:
Explicação: se um produto de dois fatores é zero, então pelo menos um dos fatores é zero.
Passo 7
Escolhemos a raiz válida considerando o significado físico de
:
é número de fileiras, logo deve ser um inteiro positivo. Assim descartamos
e ficamos com
Passo 8
Como há exatamente uma empada por fileira, o número de empadas é igual ao número de fileiras. Logo o número de empadas é
.