(M081787H6) Tiè está preparando uma mesa de salgados para o aniversário de seu filho. Nessa mesa, ele colocou uma bandeja onde distribuiu 96 salgados em fileiras, sendo que, em cada fileira, havia 4 salgados a mais que o número de fileiras. Dentre os salgados dessa bandeja, havia uma única empada em cada fileira. Quantas empadas Tiê colocou nessa bandeja de salgados?
A) 8 .
B) 9 .
B) 24 .
D) 46 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 96 salgados no total na bandeja.
  • Os salgados estão distribuídos em fileiras (linhas).
  • Em cada fileira há 4 salgados a mais do que o número de fileiras.
  • Em cada fileira há exatamente uma empada.
    O que o problema pede:
  • Determinar quantas empadas foram colocadas na bandeja.

Passo 2

Vamos traduzir o enunciado para uma variável matemática para poder montar uma equação:
  • Seja r o número de fileiras.
    Então, pelo enunciado, o número de salgados em cada fileira é r+4 (porque é “4 a mais que o número de fileiras”).
Explicação didática: escolher uma variável é o primeiro passo para transformar o problema em contas. Aqui r é um número inteiro positivo (não faz sentido ter fileiras negativas ou fracionárias).

Passo 3

Escrevemos a relação entre total de salgados, número de fileiras e número de salgados por fileira. O total é o produto do número de fileiras pelo número de itens em cada fileira:
r\cdot(r+4)=96.

Passo 4

Expandindo a equação para obter uma equação quadrática:
r(r+4)=96 \quad\Rightarrow\quad r^{2}+4r=96.
Subtraindo 96 de ambos os lados:
r^{2}+4r-96=0.

Passo 5

Agora resolvemos a equação quadrática r^{2}+4r-96=0. Uma maneira eficiente é tentar fatorar em dois binômios com coeficiente 1 no quadrado, isto é, buscar inteiros a e b tais que:
r^{2}+4r-96=(r+a)(r+b),
onde a+b=4 e a\cdot b=-96.
Vamos procurar dois inteiros cujo produto seja -96 e cuja soma seja 4. Testando fatores de 96:
  • 12 e -8 têm produto -96 e soma 12+(-8)=4. Portanto a fatoração é:
r^{2}+4r-96=(r+12)(r-8).

Passo 6

Da fatoração (r+12)(r-8)=0 obtemos as raízes:
r=-12 \quad\text{ou}\quad r=8.
Explicação: se um produto de dois fatores é zero, então pelo menos um dos fatores é zero.

Passo 7

Escolhemos a raiz válida considerando o significado físico de r: r é número de fileiras, logo deve ser um inteiro positivo. Assim descartamos r=-12 e ficamos com
r=8.

Passo 8

Como há exatamente uma empada por fileira, o número de empadas é igual ao número de fileiras. Logo o número de empadas é r=8.

Resposta

8

Exercícios relacionados