A machine of mass m=500 \mathrm{~kg} is mounted on a simply supported steel beam of length l=2 \mathrm{~m} having a rectangular cross section (depth =0.1 \mathrm{~m}, width =1.2 \mathrm{~m} ) and Young’s modulus E=2.06 \times 10^{11} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}. To reduce the vertical deflection of the beam, a spring of stiffness k is attached at mid-span, as shown in Fig. 1.71. Determine the value of k needed to reduce the deflection of the beam by 75 percent of its original value.
Assume that the mass of the beam is negligible.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o valor da constante elástica k da mola, de modo que a flecha vertical do centro da viga seja reduzida em 75\% do seu valor original (ou seja, que a nova flecha seja 25\% da original).
Informações fornecidas (dados do enunciado; peguei alguns dados também da figura):
  • Massa do equipamento: m=500\\ \mathrm{kg}.
  • Comprimento da viga: l=2\\ \mathrm{m}.
  • Seção transversal retangular: profundidade (altura) h=0,1\\ \mathrm{m}, largura b=1{,}2\\ \mathrm{m}.
  • Módulo de Young: E=2,06\times10^{11}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • A mola de rigidez k está ligada ao centro da viga (meio do vão), conforme a imagem.
  • A massa da viga é desprezível.
  • Força concentrada devido à massa: P = m g (com g\approx9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
O objetivo final: achar k em \mathrm{N/m}.

Passo 2

Fórmulas e conceitos que vamos usar (explicados com calma):
  • Flecha máxima no meio de uma viga biapoiada com carga concentrada P no meio:
\delta_0=\frac{P L^{3}}{48 E I},
onde
  • \delta_0 é a flecha original (sem mola),
  • P é a carga concentrada (aqui P=mg),
  • L é o comprimento do vão (aqui L=l),
  • E é o módulo de Young,
  • I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo neutro (para retângulo, ver abaixo).
  • Momento de inércia de uma seção retangular (base b, altura h, eixo neutro horizontal):
I=\frac{b h^{3}}{12},
onde b é a largura (no plano horizontal) e h é a profundidade (altura, dimensão que entra ao cubo).
  • Efeito da mola no centro: se a deflexão do centro for w, a mola fornece uma reação R=k\,w para cima. Podemos tratar a viga submetida à carga resultante P-R no centro; a flecha correspondente é proporcional à carga efetiva. Usando compatibilidade (a deflexão w deve ser a gerada por P-R), obtemos uma equação para w em função de k. Vou detalhar isso nos próximos passos.

Passo 3

Calcular o momento de inércia I da seção retangular:
I=\frac{b h^{3}}{12}=\frac{1{,}2\cdot(0{,}1)^{3}}{12}.
Calcule passo a passo:
(0{,}1)^{3}=0{,}001, \qquad 1{,}2\cdot0{,}001=0{,}0012, \qquad I=\frac{0{,}0012}{12}=0{,}0001=\;1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{4}}.

Passo 4

Calcular a flecha original \delta_0 (só para termos escala; embora k irá se eliminar em grande parte):
  • Primeiro P=mg:
P= m g = 500\cdot 9{,}81 = 4905\\ \mathrm{N}.
  • Agora \delta_0=\dfrac{P L^{3}}{48 E I} com L=2\\ \mathrm{m} e I=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{4}}:
L^{3}=2^{3}=8\\ \mathrm{m^{3}}.
\delta_0=\frac{4905\cdot 8}{48\cdot(2{,}06\times10^{11})\cdot(1{,}0\times10^{-4})}.
Calcule o denominador passo a passo:
48\cdot(2{,}06\times10^{11})\cdot(1{,}0\times10^{-4}) =48\cdot(2{,}06\times10^{7}) =48\cdot 2{,}06 \times10^{7} =98{,}88\times10^{7}=9{,}888\times10^{8}.
Numerador:
4905\cdot 8=39\,240.
\delta_0=\frac{39\,240}{9{,}888\times10^{8}}\approx 3{,}97\times10^{-5}\\ \mathrm{m}=0{,}0397\\ \mathrm{mm}.
Observação: a flecha é muito pequena (bem típica para viga de aço curta e seção robusta).

Passo 5

Derivação da expressão da flecha com a mola no centro (compatibilidade e equilíbrio), explicando cada passo:
  • Chame w a deflexão no meio quando a mola está presente.
  • A mola fornece reação R=k\,w para cima.
  • A viga, sujeita à carga concentrada P para baixo e à reação R para cima, tem força resultante efetiva no centro P_{\text{ef}}=P-R para baixo.
  • A flecha no centro produzida por uma carga concentrada F no meio é proporcional a F pela mesma razão que a fórmula padrão: \delta=\dfrac{F L^{3}}{48 E I}.
  • Portanto, a compatibilidade entre a flecha w e a carga efetiva dá:
w=\frac{(P-R)\,L^{3}}{48 E I}=\frac{(P-k w)\,L^{3}}{48 E I}.
  • Isolando w:
w=\frac{P L^{3}}{48 E I}-\frac{k w L^{3}}{48 E I}
w\left(1+\frac{k L^{3}}{48 E I}\right)=\frac{P L^{3}}{48 E I}
w=\frac{\dfrac{P L^{3}}{48 E I}}{1+\dfrac{k L^{3}}{48 E I}} =\frac{\delta_0}{1+\dfrac{k L^{3}}{48 E I}}.
Essa expressão faz sentido fisicamente: se k=0 então w=\delta_0; se k\to\infty então w\to0.

Passo 6

Impor a redução desejada e resolver para k:
  • Reduzir a flecha em 75\% do valor original significa w=0{,}25\,\delta_0.
  • Substituindo em
w=\frac{\delta_0}{1+\dfrac{k L^{3}}{48 E I}}
temos
0{,}25\,\delta_0=\frac{\delta_0}{1+\dfrac{k L^{3}}{48 E I}}.
Cancelar \delta_0 (não nulo) e inverter:
0{,}25=\frac{1}{1+\dfrac{k L^{3}}{48 E I}} \quad\Rightarrow\quad 1+\frac{k L^{3}}{48 E I}=4.
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\frac{k L^{3}}{48 E I}=3 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{3\cdot 48 E I}{L^{3}}=144\frac{E I}{L^{3}}.
Agora substituir valores numéricos:
E=2{,}06\times10^{11}\\ \mathrm{N/m^{2}},\quad I=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{4}},\quad L^{3}=8\\ \mathrm{m^{3}}.
k=144\cdot\frac{2{,}06\times10^{11}\cdot 1{,}0\times10^{-4}}{8} =144\cdot\frac{2{,}06\times10^{7}}{8}.
Calcule:
2{,}06\times10^{7}\cdot144=2{,}9664\times10^{9}, \qquad \frac{2{,}9664\times10^{9}}{8}=3{,}708\times10^{8}\\ \mathrm{N/m}.
Arredondando com três algarismos significativos:
k\approx 3{,}71\times10^{8}\\ \mathrm{N/m}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança):
  • Com esse k,
\frac{k L^{3}}{48 E I}=\frac{3{,}708\times10^{8}\cdot 8}{48\cdot 2{,}06\times10^{11}\cdot 1{,}0\times10^{-4}}=3,
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w=\frac{\delta_0}{1+3}=\frac{\delta_0}{4}=0{,}25\,\delta_0,
como desejado.
  • Em valor absoluto: w\approx 0{,}25\cdot 3{,}97\times10^{-5}\\ \mathrm{m}\approx9{,}92\times10^{-6}\\ \mathrm{m} (cerca de 0{,}0099\\ \mathrm{mm}).

Resposta

k\approx 3{,}71\times10^{8}\\ \mathrm{N/m}

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