A machine of mass
is mounted on a simply supported steel beam of length
having a rectangular cross section (depth
, width
) and Young’s modulus
. To reduce the vertical deflection of the beam, a spring of stiffness
is attached at mid-span, as shown in Fig. 1.71. Determine the value of
needed to reduce the deflection of the beam by 75 percent of its original value.
Assume that the mass of the beam is negligible.
Assume that the mass of the beam is negligible.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar o valor da constante elástica
da mola, de modo que a flecha vertical do centro da viga seja reduzida em do seu valor original (ou seja, que a nova flecha seja da original).
Informações fornecidas (dados do enunciado; peguei alguns dados também da figura):
- Massa do equipamento:
. - Comprimento da viga:
. - Seção transversal retangular: profundidade (altura)
, largura . - Módulo de Young:
. - A mola de rigidez
está ligada ao centro da viga (meio do vão), conforme a imagem. - A massa da viga é desprezível.
- Força concentrada devido à massa:
(com ).
O objetivo final: achar
em
.
Passo 2
Fórmulas e conceitos que vamos usar (explicados com calma):
- Flecha máxima no meio de uma viga biapoiada com carga concentrada
no meio:
onde
-
é a flecha original (sem mola), -
é a carga concentrada (aqui ), -
é o comprimento do vão (aqui ), -
é o módulo de Young, -
é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo neutro (para retângulo, ver abaixo). -
Momento de inércia de uma seção retangular (base
, altura , eixo neutro horizontal):
onde
é a largura (no plano horizontal) e
é a profundidade (altura, dimensão que entra ao cubo).
- Efeito da mola no centro: se a deflexão do centro for
, a mola fornece uma reação para cima. Podemos tratar a viga submetida à carga resultante no centro; a flecha correspondente é proporcional à carga efetiva. Usando compatibilidade (a deflexão deve ser a gerada por ), obtemos uma equação para em função de . Vou detalhar isso nos próximos passos.
Passo 3
Calcular o momento de inércia
da seção retangular:
Calcule passo a passo:
Passo 4
Calcular a flecha original
(só para termos escala; embora
irá se eliminar em grande parte):
- Primeiro
:
- Agora
com e :
Calcule o denominador passo a passo:
Numerador:
Observação: a flecha é muito pequena (bem típica para viga de aço curta e seção robusta).
Passo 5
Derivação da expressão da flecha com a mola no centro (compatibilidade e equilíbrio), explicando cada passo:
- Chame
a deflexão no meio quando a mola está presente. - A mola fornece reação
para cima. - A viga, sujeita à carga concentrada
para baixo e à reação para cima, tem força resultante efetiva no centro para baixo. - A flecha no centro produzida por uma carga concentrada
no meio é proporcional a pela mesma razão que a fórmula padrão: . - Portanto, a compatibilidade entre a flecha
e a carga efetiva dá:
- Isolando
:
Essa expressão faz sentido fisicamente: se
então
; se
então
.
Passo 6
Impor a redução desejada e resolver para
:
- Reduzir a flecha em
do valor original significa . - Substituindo em
temos
Cancelar
(não nulo) e inverter:
Logo
Agora substituir valores numéricos:
Calcule:
Arredondando com três algarismos significativos:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança):
- Com esse
,
logo
como desejado.
- Em valor absoluto:
(cerca de ).