Uma máquina de corte a laser produz componentes metálicos de alta precisāo. Sabe-se que a probabilidade do corte de um componente apresentar imperfeição é de
, e o corte de cada componente é independente dos demais. O setor de qualidade separa um lote para uma análise profunda assim que a segunda peça com imperfeição é encontrada na esteira de produção.
Calcule a probabilidade de que a análise profunda seja iniciada no quarto componente inspecionado?
Calcule a probabilidade de que a análise profunda seja iniciada no quarto componente inspecionado?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A probabilidade de uma peça apresentar imperfeição é
. - Os cortes (inspeções) são independentes.
- O setor inicia a análise profunda assim que encontrar a segunda peça com imperfeição.
A pergunta é: qual a probabilidade de que a análise profunda seja iniciada no quarto componente inspecionado? Ou seja, qual a probabilidade de que a segunda peça imperfeita apareça exatamente na inspeção número quatro.
Passo 2
Vamos entender o que “a segunda peça imperfeita ocorre no quarto componente” significa, em termos de eventos:
- Entre as primeiras três peças inspecionadas deve haver exatamente uma peça imperfeita (porque a segunda imperfeição ainda não apareceu).
- A quarta peça deve ser imperfeita (essa será a segunda imperfeição).
Portanto o evento procurado é: “exatamente uma imperfeição em 3 primeiras” E “imperfeição na 4ª”.
Passo 3
Método (idéia combinatória + probabilidade):
- A probabilidade de uma sequência específica de resultados com
imperfeições (sucessos) e perfeitas (falhas) é dada por multiplicar as probabilidades correspondentes, porque as inspeções são independentes. - Para as primeiras três peças queremos exatamente uma imperfeição e duas perfeitas. Há várias ordens possíveis dessa única imperfeição entre as três posições; o número de ordens é
. - Para cada uma dessas ordens a probabilidade é
. - A quarta peça precisa ser imperfeita, com probabilidade
. - Combinando: probabilidade total é
.
Passo 4
Apresentando a fórmula geral (distribuição binomial negativa / distribuição do número de ensaios até o
-ésimo sucesso):
Aqui:
-
é a probabilidade de “sucesso” em cada ensaio (no nosso caso, “imperfeição”), -
é o número de sucessos desejado (aqui ), -
é o número de ensaios até atingir o -ésimo sucesso (aqui ).
Aplicando come obtemos a mesma expressão do passo anterior:
Passo 5
Agora substituímos o valor dado
:
Passo 6
Multiplicando os fatores:
Calcule por etapas:
. Então
.
Passo 7
Interpretação final rápida (para te animar): a probabilidade de que a segunda peça com imperfeição apareça exatamente na quarta inspeção é
, ou seja cerca de
. Isso faz sentido porque pedir que a segunda imperfeição só apareça no 4º exige que nas 3 primeiras haja só uma imperfeição (evento relativamente improvável) e depois uma imperfeição no 4º.