Uma máquina de corte a laser produz componentes metálicos de alta precisāo. Sabe-se que a probabilidade do corte de um componente apresentar imperfeição é de p=0,4, e o corte de cada componente é independente dos demais. O setor de qualidade separa um lote para uma análise profunda assim que a segunda peça com imperfeição é encontrada na esteira de produção.
Calcule a probabilidade de que a análise profunda seja iniciada no quarto componente inspecionado?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A probabilidade de uma peça apresentar imperfeição é p=0,4.
  • Os cortes (inspeções) são independentes.
  • O setor inicia a análise profunda assim que encontrar a segunda peça com imperfeição.
    A pergunta é: qual a probabilidade de que a análise profunda seja iniciada no quarto componente inspecionado? Ou seja, qual a probabilidade de que a segunda peça imperfeita apareça exatamente na inspeção número quatro.

Passo 2

Vamos entender o que “a segunda peça imperfeita ocorre no quarto componente” significa, em termos de eventos:
  • Entre as primeiras três peças inspecionadas deve haver exatamente uma peça imperfeita (porque a segunda imperfeição ainda não apareceu).
  • A quarta peça deve ser imperfeita (essa será a segunda imperfeição).
    Portanto o evento procurado é: “exatamente uma imperfeição em 3 primeiras” E “imperfeição na 4ª”.

Passo 3

Método (idéia combinatória + probabilidade):
  • A probabilidade de uma sequência específica de resultados com r imperfeições (sucessos) e f perfeitas (falhas) é dada por multiplicar as probabilidades correspondentes, porque as inspeções são independentes.
  • Para as primeiras três peças queremos exatamente uma imperfeição e duas perfeitas. Há várias ordens possíveis dessa única imperfeição entre as três posições; o número de ordens é \binom{3}{1}.
  • Para cada uma dessas ordens a probabilidade é p\cdot(1-p)\cdot(1-p).
  • A quarta peça precisa ser imperfeita, com probabilidade p.
  • Combinando: probabilidade total é \binom{3}{1}\cdot p\cdot(1-p)\cdot(1-p)\cdot p = \binom{3}{1}\,p^{2}(1-p)^{2}.

Passo 4

Apresentando a fórmula geral (distribuição binomial negativa / distribuição do número de ensaios até o r-ésimo sucesso):
P(\text{o \(r\)-ésimo sucesso ocorre no ensaio }k)=\binom{k-1}{r-1}\,p^{r}(1-p)^{\,k-r}.é
Aqui:
  • p é a probabilidade de “sucesso” em cada ensaio (no nosso caso, “imperfeição”),
  • r é o número de sucessos desejado (aqui r=2),
  • k é o número de ensaios até atingir o r-ésimo sucesso (aqui k=4).
    Aplicando com r=2 e k=4 obtemos a mesma expressão do passo anterior:
P=\binom{4-1}{2-1}\,p^{2}(1-p)^{4-2}=\binom{3}{1}\,p^{2}(1-p)^{2}.

Passo 5

Agora substituímos o valor dado p=0,4:
\binom{3}{1}=3,
p^{2}=(0,4)^{2}=0,16,
(1-p)^{2}=(0,6)^{2}=0,36.

Passo 6

Multiplicando os fatores:
P=3\cdot 0,16\cdot 0,36.
Calcule por etapas: 0,16\cdot0,36=0,0576. Então 3\cdot0,0576=0,1728.

Passo 7

Interpretação final rápida (para te animar): a probabilidade de que a segunda peça com imperfeição apareça exatamente na quarta inspeção é 0,1728, ou seja cerca de 17,28\%. Isso faz sentido porque pedir que a segunda imperfeição só apareça no 4º exige que nas 3 primeiras haja só uma imperfeição (evento relativamente improvável) e depois uma imperfeição no 4º.

Resposta

0,1728

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