Uma máquina de corte a laser produz componentes metálicos de alta precisāo. Sabe-se que a probabilidade do corte de um componente apresentar imperfeição é de
, e o corte de cada componente é independente dos demais. O setor de qualidade separa um lote para uma análise profunda assim que a segunda peça com imperfeição é encontrada na esteira de produção.
Determine o menor número de componentes que devem ser inspecionados para que a análise profunda
seja iniciada com probabilidade 0,5.
Determine o menor número de componentes que devem ser inspecionados para que a análise profunda
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo peguei do texto do enunciado):
- A probabilidade de um componente apresentar imperfeição é
. - Os cortes são independentes entre si.
- O setor separa o lote para análise profunda assim que a segunda peça com imperfeição é encontrada na esteira.
O que o problema pede: - Determinar o menor número de componentes
que devem ser inspecionados para que a probabilidade de a análise profunda ter sido iniciada (ou seja, de já ter ocorrido a segunda peça imperfeita) seja .
Passo 2
Modelagem do problema — por que a contagem de imperfeições em
inspeções é o que interessa:
- Se inspecionarmos
peças, a variável aleatória = número de peças com imperfeição entre essas inspeções tem distribuição binomial com parâmetros (número de ensaios) e (probabilidade de “sucesso” = imperfeição) — escrevemos . - A fórmula da probabilidade binomial é:
onde
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher
ocorrências entre
ensaios).
- O evento “a análise profunda já foi iniciada até a
-ésima inspeção” é equivalente a “há pelo menos 2 imperfeições nas primeiras peças”, isto é . - Assim queremos o menor
tal que
Passo 3
Transformar a desigualdade em forma utilizável:
- É mais fácil trabalhar com o complemento:
- Usando a fórmula binomial e
, obtemos a expressão fechada:
- Portanto a condição
vira
ou equivalentemente
Passo 4
Substituir
e calcular passo a passo para valores inteiros crescentes de
(lembrando que
tem de ser pelo menos
):
- Aqui
. Vamos testar até encontrar o menor que satisfaça a desigualdade.
Passo 5
Cálculo para
:
Então
. Ainda não chega a
.
Passo 6
Cálculo para
:
Então
. Ainda não.
Passo 7
Cálculo para
:
Calcular a segunda parte:
, então
. Somando:
Logo
.
Passo 8
Conclusão sobre o menor
:
- Para
a probabilidade já era menor que . - Para
a probabilidade de ter pelo menos 2 imperfeições em inspeções é , que é a primeira vez que ultrapassa . - Portanto o menor número de componentes a inspecionar é
.