Uma máquina de corte a laser produz componentes metálicos de alta precisāo. Sabe-se que a probabilidade do corte de um componente apresentar imperfeição é de p=0,4, e o corte de cada componente é independente dos demais. O setor de qualidade separa um lote para uma análise profunda assim que a segunda peça com imperfeição é encontrada na esteira de produção.
Determine o menor número de componentes que devem ser inspecionados para que a análise profunda (0,7) seja iniciada com probabilidade 0,5.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo peguei do texto do enunciado):
  • A probabilidade de um componente apresentar imperfeição é p=0,4.
  • Os cortes são independentes entre si.
  • O setor separa o lote para análise profunda assim que a segunda peça com imperfeição é encontrada na esteira.
    O que o problema pede:
  • Determinar o menor número de componentes n que devem ser inspecionados para que a probabilidade de a análise profunda ter sido iniciada (ou seja, de já ter ocorrido a segunda peça imperfeita) seja 0,5.

Passo 2

Modelagem do problema — por que a contagem de imperfeições em n inspeções é o que interessa:
  • Se inspecionarmos n peças, a variável aleatória X = número de peças com imperfeição entre essas n inspeções tem distribuição binomial com parâmetros n (número de ensaios) e p (probabilidade de “sucesso” = imperfeição) — escrevemos X\sim\mathrm{Bin}(n,p).
  • A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher k ocorrências entre n ensaios).
  • O evento “a análise profunda já foi iniciada até a n-ésima inspeção” é equivalente a “há pelo menos 2 imperfeições nas n primeiras peças”, isto é \{X\ge 2\}.
  • Assim queremos o menor n tal que
P(X\ge 2)\ge 0,5.

Passo 3

Transformar a desigualdade em forma utilizável:
  • É mais fácil trabalhar com o complemento:
P(X\ge 2)=1-P(X\le 1)=1-\big(P(X=0)+P(X=1)\big).
  • Usando a fórmula binomial e 1-p=0,6, obtemos a expressão fechada:
P(X\le 1)=(1-p)^{n}+n\,p\,(1-p)^{\,n-1}.
  • Portanto a condição P(X\ge2)\ge 0,5 vira
1-\big((1-p)^{n}+n p (1-p)^{n-1}\big)\ge 0,5
ou equivalentemente
(1-p)^{n}+n p (1-p)^{n-1}\le 0,5.

Passo 4

Substituir p=0,4 e calcular passo a passo para valores inteiros crescentes de n (lembrando que n tem de ser pelo menos 2):
  • Aqui 1-p=0,6. Vamos testar n=2,3,4,\dots até encontrar o menor n que satisfaça a desigualdade.

Passo 5

Cálculo para n=2:
P(X\le1)=(0,6)^{2}+2\cdot0,4\cdot(0,6)^{1}=0,36+2\cdot0,4\cdot0,6=0,36+0,48=0,84.
Então P(X\ge2)=1-0,84=0,16<0,5. Ainda não chega a 0,5.

Passo 6

Cálculo para n=3:
P(X\le1)=(0,6)^{3}+3\cdot0,4\cdot(0,6)^{2}=0,216+3\cdot0,4\cdot0,36=0,216+3\cdot0,144=0,216+0,432=0,648.
Então P(X\ge2)=1-0,648=0,352<0,5. Ainda não.

Passo 7

Cálculo para n=4:
P(X\le1)=(0,6)^{4}+4\cdot0,4\cdot(0,6)^{3}=0,1296+4\cdot0,4\cdot0,216.
Calcular a segunda parte: 0,4\cdot0,216=0,0864, então 4\cdot0,0864=0,3456. Somando:
P(X\le1)=0,1296+0,3456=0,4752.
Logo P(X\ge2)=1-0,4752=0,5248\ge 0,5.

Passo 8

Conclusão sobre o menor n:
  • Para n=3 a probabilidade já era menor que 0,5.
  • Para n=4 a probabilidade de ter pelo menos 2 imperfeições em n inspeções é 0,5248, que é a primeira vez que ultrapassa 0,5.
  • Portanto o menor número de componentes a inspecionar é n=4.

Resposta

4

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