1. Uma máquina custa $10.000,00 e será utilizada durante dez anos, após os quais será revendida por $15.000,00 (valor de mercado para máquina com dez anos de uso). A empresa paga Imposto de Renda na faixa dos 30,0 \% e utiliza um custo de oportunidade do capital de 20,0 \% a.a… Calcule o Custo Uniforme equivalente anual para o uso desta máquina nas seguintes condições:
a) sem considerar o imposio ue mman,
b) com Imposto de Renda ; depreciação linear em dez anos;

Passo 1

O enunciado e os dados relevantes (já peguei todos do texto) são:
  • custo de compra da máquina: P=\$10{.}000.
  • vida útil: n=10 anos.
  • valor de revenda ao final de 10 anos: S=\$15{.}000.
  • alíquota do Imposto de Renda: t=30{,}0\% = 0{,}30.
  • custo de oportunidade do capital (taxa de desconto): i=20{,}0\% = 0{,}20.
  • depreciação: linear em 10 anos (quando necessário usar para o imposto).
    O que o exercício pede:
    (a) calcular o Custo Uniforme Equivalente anual sem considerar imposto (sem imposto de renda);
    (b) calcular o Custo Uniforme Equivalente anual considerando Imposto de Renda com depreciação linear em 10 anos.

Passo 2

Vamos lembrar/definir as fórmulas que usaremos (explico o que cada símbolo significa).
  • O fator de recuperação de capital (transforma um valor presente \(P) em uma série anual \(A)) é
\left(A/P,i,n\right)=\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Aqui i é a taxa de juros por período e n o número de períodos. Esse fator dá quanto precisa ser pago por ano, durante n anos, para amortizar o valor presente P.
  • O fator que transforma um valor futuro \(F) em uma série anual \(A) é
\left(A/F,i,n\right)=\frac{i}{(1+i)^{n}-1}.
  • Também usaremos o fator de valor presente de uma série uniforme:
\left(P/A,i,n\right)=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i},
que é o inverso de \left(A/P,i,n\right).
Primeiro vamos calcular (1+i)^{n} porque aparece nas fórmulas:
(1+i)^{n}=(1{,}20)^{10}\approx 6{,}1917364224.

Passo 3

A fórmula para o custo anual equivalente sem imposto é transformar o custo inicial P em uma anuidade e subtrair a anuidade equivalente ao valor de revenda S (porque S será um ingresso no ano n):
A_{\text{sem imposto}} = P\cdot\left(A/P,i,n\right) - S\cdot\left(A/F,i,n\right).
Calculemos os fatores numéricos:
\left(A/P,0{,}20,10\right)=\frac{0{,}20}{1-(1{,}20)^{-10}} \approx 0{,}238568.
\left(A/F,0{,}20,10\right)=\frac{0{,}20}{(1{,}20)^{10}-1} \approx 0{,}038533.
Agora as parcelas:
P\cdot\left(A/P\right)=10{.}000\cdot 0{,}238568\approx 2{.}385{,}68.
S\cdot\left(A/F\right)=15{.}000\cdot 0{,}038533\approx 577{,}99.
Portanto
A_{\text{sem imposto}}\approx 2{.}385{,}68 - 577{,}99 = 1{.}807{,}69\\ (\$ \text{por ano}).

Passo 4

O valor A_{\text{sem imposto}}=\$1{.}807{,}69 representa o custo anual equivalente (líquido de operações, só capital) de comprar a máquina por $10.000 e revender por $15.000 após 10 anos, descontando à taxa de 20\% ao ano, não considerando impostos.

Passo 5

Com Imposto de Renda t=0{,}30 e depreciação linear em 10 anos:
  • depreciação anual contábil (linear): \displaystyle D=\frac{P}{n}=\frac{10{.}000}{10}=\$1{.}000 por ano.
  • o “escudo fiscal” (economia de imposto) cada ano devido à depreciação é
\text{escudo anual}=t\cdot D=0{,}30\cdot 1{.}000=\$300.
  • o valor contábil (book value) ao final de 10 anos é P - nD = 10{.}000 - 10\cdot1{.}000 = 0. Logo a venda por S=\$15{.}000 gera um ganho tributável de \$15{.}000 e imposto sobre ganho de
\text{imposto sobre venda} = t\cdot(S-\text{book value}) = 0{,}30\cdot 15{.}000=\$4{.}500.
Assim o valor líquido recebido no ano 10 é
S_{\text{líquido}} = S - \text{imposto sobre venda} = 15{.}000 - 4{.}500 = \$10{.}500.í
No ano 10 também há o escudo fiscal de depreciação (mais $300), então o total recebido no ano 10 relacionado a impostos/depreciação+venda é 10{.}500 + 300 = \$10{.}800.
Resumindo fluxos após impostos:
  • ano 0: saída -\$10{.}000;
  • anos 1 a 9: entrada +\$300 (escudo fiscal anual);
  • ano 10: entrada +\$10{.}800 (escudo de 300 + venda líquida 10.500).

Passo 6

Calcule o valor presente dos escudos anuais \$300 por 10 anos ao desconto i=0{,}20:
PV_{\text{escudos}} = 300\cdot \left(P/A,0{,}20,10\right) =300\cdot\frac{1-(1{,}20)^{-10}}{0{,}20}.
Já calculamos \left(P/A,0{,}20,10\right)=\frac{1-(1{,}20)^{-10}}{0{,}20}\approx 4{,}1924720855. Então
PV_{\text{escudos}}\approx 300\cdot 4{,}1924720855 \approx \$1{.}257{,}74.

Passo 7

Descontar o valor líquido recebido no ano 10, \$10{.}500 (note: o próprio escudo de depreciação do ano 10 já foi separado; aqui usamos apenas o S_{\text{líquido}}=\$10{.}500í para o componente venda — mas já somamos o escudo de 300 no passo 6 e o incluiremos no ano 10 também; para simplificar somamos os dois no passo 8). O PV de S_{\text{líquido}}=\$10{.}500í é
PV_{S} = \frac{10{.}500}{(1{,}20)^{10}} \approx \frac{10{.}500}{6{,}1917364224} \approx \$1{.}695{,}61.

Passo 8

Somando os PVs das entradas pós-imposto:
PV_{\text{entradas}} = PV_{\text{escudos}} + PV_{S} \approx 1{.}257{,}74 + 1{.}695{,}61 = \$2{.}953{,}35.
NPV após imposto do investimento (usando sinais: saída inicial menos entradas futuras) é
NPV_{\text{após imposto}} = -10{.}000 + 2{.}953{,}35 = -7{.}046{,}65.ó
Esse NPV negativo significa um custo presente líquido de \$7{.}046{,}65. Para transformar esse PV de custo em uma anuidade anual A_{\text{com imposto}}, usamos
A_{\text{com imposto}} = \frac{7{.}046{,}65}{\left(P/A,0{,}20,10\right)}.
Com \left(P/A,0{,}20,10\right)\approx 4{,}1924720855,
A_{\text{com imposto}}\approx \frac{7{.}046{,}65}{4{,}1924720855}\approx \$1{.}681{,}13.

Passo 9

Conclusão numérica: sem imposto o custo anual equivalente é \$1{.}807{,}69 e com imposto (e depreciação linear) o custo anual equivalente cai para \$1{.}681{,}13. Ou seja, o benefício fiscal da depreciação e o comportamento do imposto sobre a venda reduzem o custo anual da máquina. Vai dar tudo certo — esses passos são exatamente o que costuma cair em prova: transformar fluxos em PVs, cuidar do imposto sobre venda e usar fatores anuais.

Resposta

\$1{.}807{,}69
\$1{.}681{,}13

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