1. Uma máquina custa $10.000,00 e será utilizada durante dez anos, após os quais será revendida por $15.000,00 (valor de mercado para máquina com dez anos de uso). A empresa paga Imposto de Renda na faixa dos 30,0 \% e utiliza um custo de oportunidade do capital de 20,0 \% a.a… Calcule o Custo Uniforme equivalente anual para o uso desta máquina nas seguintes condições:
d) Com imposto de renda; depreciação linear em 15 anos, apesar dela ser vendida

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo pego do enunciado):
  • Preço de compra da máquina: \,P_0 = R\$\,10{.}000{,}00.
  • Vida de uso prática (na empresa): n=10 anos (a máquina será vendida após 10 anos).
  • Valor de revenda (valor de mercado) ao final de 10 anos: \,F_{10}=R\$\,15{.}000{,}00.
  • Alíquota do Imposto de Renda: \,t=30{,}0\% = 0{,}30.
  • Custo de oportunidade (taxa de desconto): \,i=20{,}0\% = 0{,}20 ao ano.
  • Método de depreciação contábil adotado: depreciação linear em 15 anos (ou seja, a empresa lança a depreciação como se a vida útil contábil fosse 15 anos, embora venda após 10 anos).
O que o exercício pede:
  • Calcular o Custo Uniforme Equivalente Anual (CUEA) ou Custo Uniforme Equivalente para o uso da máquina considerando o imposto de renda e a depreciação linear em 15 anos, vendida após 10 anos.

Passo 2

Entendendo as principais ideias que vamos usar (aula rápida e prática):
  1. Depreciação linear (ou depreciação em linha reta)
  • Fórmula: a depreciação anual contábil \,D é o custo dividido pela vida contábil:
D=\frac{P_0}{\text{vida contábil}}.á
  • Aqui a empresa usa vida contábil 15 anos, então:
D=\frac{R\$\,10{.}000}{15} = R\$\,\frac{10{.}000}{15} = R\$\,\frac{2{.}000}{3} \approx R\$\,666{,}666\ldots
(é conveniente manter frações quando possível; em moeda vamos tratar valores com duas casas no final.)
  1. Escopo do imposto sobre ganho na venda
  • Ao vender, se o preço de venda \,F for diferente do valor contábil (book value) da máquina, há ganho ou perda contábil que é tributável.
  • O valor contábil após t anos, com depreciação linear, é:
BV_t = P_0 - t\cdot D.
  • O ganho tributável na venda é \,G = F - BV_t. Se G>0, paga-se imposto \,t\cdot G. O caixa líquido recebido na venda, após imposto, é:
F_{\text{líquido}} = F - t\cdot G = F - t(F - BV_t) = (1-t)F + t\cdot BV_t.í
  1. Escopo da análise econômica (fluxos relevantes)
  • Fluxos imediatos e futuros:
    • t=0: saída -P_0.
    • t=1,2,\dots,10: entrada anual do benefício fiscal da depreciação (escudo fiscal) igual a t\cdot D, porque cada ano a depreciação reduz o lucro tributável e reduz imposto a pagar.
    • t=10: além do escudo fiscal do ano 10, ocorre a venda com entrada F_{\text{líquido}}í.
  • Não há outros custos/receitas fornecidas (manutenção, receita operacional etc.), então só consideramos estes fluxos.
  1. Converter tudo em Custo Uniforme Anual
  • Primeiro calculamos o valor presente líquido (PV) dos fluxos (somando sinais).
  • Depois transformamos esse PV em uma anuidade uniforme A (CUEA) usando o fator de recuperação de capital (capital recovery):
A = \text{PV} \cdot \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}.
  • Atenção ao sinal: se PV for negativo (isto é, custo líquido presente), a anuidade A será negativa. Para apresentar o Custo anual, normalmente damos o valor positivo correspondente ao custo anual.

Passo 3

Calcular a depreciação anual e o valor contábil após 10 anos (tudo em fórmulas e números):
  • Depreciação anual contábil:
D=\frac{P_0}{15}=\frac{10{.}000}{15}= \frac{2{.}000}{3}\\ \text{(R\$por ano)} \approx R\$\,666{,}666\ldots
  • Valor contábil após 10 anos:
BV_{10}=P_0 - 10\cdot D = 10{.}000 - 10\cdot\frac{10{.}000}{15} = 10{.}000\left(1-\frac{10}{15}\right)=10{.}000\cdot\frac{5}{15}=10{.}000\cdot\frac{1}{3}=\frac{10{.}000}{3}\approx R\$\,3{.}333{,}33.

Passo 4

Calcular o imposto sobre o ganho na venda e o valor líquido de revenda (tudo passo a passo):
  • Ganho tributável na venda:
G = F_{10} - BV_{10} = 15{.}000 - \frac{10{.}000}{3} = \frac{45{.}000-10{.}000}{3}=\frac{35{.}000}{3}\\ \text{(R\$)}.
  • Imposto devido sobre esse ganho:
\text{Imposto}_\text{venda} = t\cdot G = 0{,}30\cdot\frac{35{.}000}{3} = \frac{10{.}500}{3} = R\$\,3{.}500{,}00.
(obs.: aqui a conta dá exatamente R$,3.500,00 porque as frações simplificam).
  • Valor líquido recebido na venda (t=10), após pagar imposto sobre ganho:
F_{10,\text{líq}} = F_{10} - \text{Imposto}_\text{venda} = 15{.}000 - 3{.}500 = R\$\,11{.}500{,}00.í

Passo 5

Calcular o escudo fiscal anual da depreciação (benefício fiscal que entra todo ano):
  • Escudo fiscal anual (entrada positiva) é imposto sobre a depreciação:
\text{Escudo} = t\cdot D = 0{,}30\cdot\frac{10{.}000}{15} = 0{,}30\cdot\frac{2{.}000}{3} = R\$\,200{,}00 \\ \text{por ano}.
  • Esse valor entra nos anos 1,2,\dots,10 (a empresa usufrui do benefício somente enquanto possuir o ativo).

Passo 6

Montar os fluxos de caixa relevantes (sinais) e calcular o Valor Presente (PV) a i=20\%:
Fluxos:
  • t=0: -P_0 = -R\$\,10{.}000{,}00.
  • t=1\dots 10: +Escudo fiscal anual = +R\$\,200{,}00 cada ano.
  • t=10: adicionalmente +valor líquido de revenda = +R\$\,11{.}500{,}00.
Agora calculamos o PV desses fluxos a i=0{,}20.
Precisamos dos fatores financeiros para n=10 e i=0{,}20.
  • Fator (P/F,i,10) = (1+i)^{-10} = 1{,}2^{-10}.
    Calculando potências de 1{,}2: (1{,}2)^{10} \approx 6{,}1917364224,então (P/F,0{,}20,10) = \frac{1}{6{,}1917364224} \approx 0{,}1615055829.
  • Fator (P/A,i,10) (valor presente de uma anuidade de 1 por 10 anos) é: (P/A,i,10)=\frac{(1+i)^{10}-1}{i(1+i)^{10}}=\frac{6{,}1917364224-1}{0{,}2\cdot 6{,}1917364224}\approx 4{,}193003301.
Agora aplicamos:
  • PV do escudo fiscal (anuidade de R\$\,200 por 10 anos):
\text{PV}_{\text{escudo}} = 200\cdot (P/A,0{,}20,10) \approx 200\cdot 4{,}193003301 = R\$\,838{,}6006602 \approx R\$\,838{,}60.
  • PV do valor líquido de revenda (somente em t=10):
\text{PV}_{\text{revenda}} = 11{.}500\cdot (P/F,0{,}20,10) \approx 11{.}500\cdot 0{,}1615055829 \approx R\$\,1{.}857{,}314203.
  • PV total (somando sinais; compra é saída):
\text{PV}_{\text{total}} = -10{.}000 + \text{PV}_{\text{escudo}} + \text{PV}_{\text{revenda}}.
Numericamente:
\text{PV}_{\text{total}} \approx -10{.}000 + 838{,}6006602 + 1{.}857{,}314203 \approx -7{.}304{,}085137.
Ou seja, o valor presente líquido dos fluxos é aproximadamente -R\$\,7{.}304{,}09. Esse PV negativo significa um custo presente de R$,7.304,09.

Passo 7

Converter o PV em um Custo Uniforme Equivalente Anual (CUEA) para 10 anos à taxa i=20\%:
  • Fator de recuperação de capital (A/P):
(A/P,i,10)=\frac{i(1+i)^{10}}{(1+i)^{10}-1}.
Usando os números já calculados:
(A/P,0{,}20,10) \approx 0{,}238469376.
  • A anuidade equivalente A (valor anual, com sinal) é:
A = \text{PV}_{\text{total}}\cdot (A/P,0{,}20,10).
Como \text{PV}_{\text{total}} é negativo (custo), o A resultante será negativo; o módulo absoluto é o custo anual. Calculando numericamente:
A \approx -7{.}304{,}085137 \cdot 0{,}238469376 \approx -1{.}741{,}85276.
Interpretação: o Custo Uniforme Equivalente anual (valor positivo do custo) é aproximadamente R\$\,1{.}741{,}85 por ano. Em palavras: por causa da combinação de compra, benefícios fiscais da depreciação e da venda final com imposto sobre ganho, o custo econômico anual equivalente de possuir e usar a máquina por 10 anos é cerca de R$,1.742 por ano.

Resposta

R\$\,1{.}741{,}85

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