Em \mathbb{R}^{2}, obtenha o vetor projeção ortogonal de u=(4,5) na direção de v=(1,2).

Passo 1

O enunciado dá os vetores em \mathbb{R}^2:
u=(4,5),\qquad v=(1,2).
O que se pede: obter o vetor projeção ortogonal de u na direção de v (ou seja, a projeção de u sobre a reta gerada por v).

Passo 2

Ideia e fórmula da projeção ortogonal (explicação didática):
  • A projeção ortogonal de u na direção de v é o vetor em que se “depõe” a parte de u que está na direção de v. Geometricamente é o vetor paralelo a v mais próximo de u.
  • Para calcular isso usamos o produto escalar. O produto escalar de dois vetores a=(a_1,a_2) e b=(b_1,b_2) é
a\cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2.
  • A norma ao quadrado de v é \|v\|^2 = v\cdot v.
  • A projeção de u sobre v (vetor) pode ser escrita como o escalar componente de u na direção de v multiplicado pelo versor de v. Isto leva à fórmula padrão
\operatorname{proj}_v(u)=\frac{u\cdot v}{v\cdot v}\,v.
Aqui:
  • u\cdot v é um número (produto escalar),
  • v\cdot v=\|v\|^2 é outro número,
  • o quociente \dfrac{u\cdot v}{v\cdot v} é um escalar que multiplica o vetor v.

Passo 3

Calcular o produto escalar u\cdot v:
u\cdot v = 4\cdot 1 + 5\cdot 2 = 4 + 10 = 14.

Passo 4

Calcular v\cdot v (norma ao quadrado de v):
v\cdot v = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5.

Passo 5

Formar o escalar multiplicador usando a fórmula:
\frac{u\cdot v}{v\cdot v}=\frac{14}{5}.

Passo 6

Multiplicar esse escalar pelo vetor v para obter a projeção:
\operatorname{proj}_v(u)=\frac{14}{5}\,(1,2)=\left(\frac{14}{5},\frac{28}{5}\right).

Passo 7

Verificação (útil para a prova): a diferença u-\operatorname{proj}_v(u) deve ser ortogonal a v. Calculemos:
u-\operatorname{proj}_v(u)=\left(4-\frac{14}{5},\;5-\frac{28}{5}\right)=\left(\frac{20-14}{5},\;\frac{25-28}{5}\right)=\left(\frac{6}{5},-\frac{3}{5}\right).
Produto escalar com v:
\left(\frac{6}{5},-\frac{3}{5}\right)\cdot(1,2)=\frac{6}{5}-\frac{6}{5}=0,
logo a diferença é ortogonal a v, conferindo que a projeção está correta.

Resposta

\left(\dfrac{14}{5},\dfrac{28}{5}\right)

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