Em
, obtenha o vetor projeção ortogonal de
na direção de
.
Passo 1
O enunciado dá os vetores em
:
O que se pede: obter o vetor projeção ortogonal de
na direção de
(ou seja, a projeção de
sobre a reta gerada por
).
Passo 2
Ideia e fórmula da projeção ortogonal (explicação didática):
- A projeção ortogonal de
na direção de é o vetor em que se “depõe” a parte de que está na direção de . Geometricamente é o vetor paralelo a mais próximo de . - Para calcular isso usamos o produto escalar. O produto escalar de dois vetores
e é
- A norma ao quadrado de
é . - A projeção de
sobre (vetor) pode ser escrita como o escalar componente de na direção de multiplicado pelo versor de . Isto leva à fórmula padrão
Aqui:
-
é um número (produto escalar), -
é outro número, - o quociente
é um escalar que multiplica o vetor .
Passo 3
Calcular o produto escalar
:
Passo 4
Calcular
(norma ao quadrado de
):
Passo 5
Formar o escalar multiplicador usando a fórmula:
Passo 6
Multiplicar esse escalar pelo vetor
para obter a projeção:
Passo 7
Verificação (útil para a prova): a diferença
deve ser ortogonal a
. Calculemos:
Produto escalar com
:
logo a diferença é ortogonal a
, conferindo que a projeção está correta.