Em \mathbb{R}^{3}, obtenha o vetor projeção ortogonal de u=(1,1,3) na direção de v=(0,1,1).

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores u=(1,1,3) e v=(0,1,1) em \mathbb{R}^3. A pergunta é: obter o vetor projeção ortogonal de u na direção de v (ou seja, a projeção de u sobre a reta gerada por v). Vou listar as informações relevantes:
  • u=(1,1,3)
  • v=(0,1,1)
  • Pedir: vetor projeção ortogonal de u na direção de v

Passo 2

Ideia e fórmula. A projeção ortogonal de u na direção de v é um vetor da forma \alpha v tal que u-\alpha v é perpendicular a v. Isso significa
(u-\alpha v)\cdot v = 0.
Desenvolvendo isso obtém-se a fórmula padrão
\alpha = \frac{u\cdot v}{v\cdot v},
portanto a projeção é
\operatorname{proj}_v u = \frac{u\cdot v}{v\cdot v}\,v.
Explicando em palavras: calcula-se o produto interno entre u e v e divide-se pelo produto interno de v consigo mesmo; o quociente é o escalar que multiplica v.

Passo 3

Calcular u\cdot v. Usando as componentes:
u\cdot v = (1)(0)+(1)(1)+(3)(1)=0+1+3=4.

Passo 4

Calcular v\cdot v. Usando as componentes:
v\cdot v = 0^2+1^2+1^2=0+1+1=2.

Passo 5

Calcular o escalar \alpha:
\alpha=\frac{u\cdot v}{v\cdot v}=\frac{4}{2}=2.

Passo 6

Obter a projeção multiplicando \alpha por v:
\operatorname{proj}_v u = 2\cdot(0,1,1)=(0,2,2).

Passo 7

Verificação (opcional, para sentir segurança): u-\operatorname{proj}_v u=(1,1,3)-(0,2,2)=(1,-1,1). Verificar ortogonalidade com v:
(1,-1,1)\cdot(0,1,1)=1\cdot0+(-1)\cdot1+1\cdot1=0,
logo u-\operatorname{proj}_v u é realmente perpendicular a v, confirmação de que o cálculo está correto.

Resposta

(0,2,2)

Exercícios relacionados