\mathbf{5}^{\mathbf{a}} Questão: Grafique a seguinte função:
f(x)=\left\{\begin{array}{c} x^{2}-4 ; x<-2 \\\\ 4-x^{2} ;-2 \leq x \leq 2 \\\ x^{2}-4 ; x>2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para grafar a função definida por partes
f(x)=\begin{cases} x^{2}-4, & x<-2\\[4pt] 4-x^{2}, & -2\le x\le 2\\[4pt] x^{2}-4, & x>2 \end{cases}
Informações relevantes que o enunciado dá:
  1. Há três ramos: o ramo esquerdo \,x^{2}-4 para x<-2; o ramo do meio \,4-x^{2} para -2\le x\le 2; e o ramo direito \,x^{2}-4 para x>2.\n
  2. Os pontos onde a definição muda são x=-2 e x=2.\n
  3. O pedido é: desenhar o gráfico — ou seja, identificar forma dos ramos (parábolas), pontos-chave (vértices, interceptos, valores nos limites x=\pm2) e como ligar tudo no esboço.]

Passo 2

Entender cada ramo separadamente (regra básica: grafamos cada peça no seu intervalo e depois juntamos). Primeiro, o que são essas funções?
  • A função \,x^{2}-4 é uma parábola com concavidade para cima (vértice em x=0, valor mínimo y=-4). A fórmula geral \,y=x^{2}-4 significa: para cada x, elevamos ao quadrado e subtraímos 4. O gráfico é simétrico em relação ao eixo y (par).\n
  • A função \,4-x^{2} é uma parábola com concavidade para baixo (vértice em x=0, valor máximo y=4). A fórmula \,y=4-x^{2} é a reflexão vertical de x^{2}-4 mais transladada: aqui subtrai-se x^{2} de 4, então o ponto mais alto é 4 quando x=0.
Explicação curta de “vértice”: para \,ax^{2}+bx+c com a\neq0 o vértice está em x=-\dfrac{b}{2a}. Aqui ambos têm b=0, logo vértice em x=0.

Passo 3

Analisar o ramo do meio \,4-x^{2} em -2\le x\le 2.
  • Vértice: x=0. Valor no vértice:
f(0)=4-0^{2}=4,
então há um ponto (0,4) — o topo do arco central.\n
  • Valores nas extremidades do intervalo:
f(-2)=4-(-2)^{2}=4-4=0,\qquad f(2)=4-2^{2}=4-4=0.
Como o ramo do meio inclui as extremidades ( -2 e 2 com símbolo \le), os pontos (-2,0) e (2,0) pertencem ao gráfico (pontos sólidos).\n
  • Forma: é uma “cúpula” (parábola aberta para baixo) conectando (-2,0) até (2,0) passando por (0,4).

Passo 4

Analisar os ramos exteriores \,x^{2}-4 para x<-2 e x>2.
  • Mesmo tipo de parábola (concavidade para cima). Vértice teórico em (0,-4), mas como x=0 não pertence a esses ramos (está no ramo do meio), o ponto (0,-4) NÃO aparece no gráfico.\n
  • Valores próximos às fronteiras:
\lim_{x\to -2^-}(x^{2}-4)=(-2)^{2}-4=0,\qquad \lim_{x\to 2^+}(x^{2}-4)=2^{2}-4=0.
Mas note: as definições exteriores exigem estritamente x<-2 e x>2, então os pontos (-2,0) e (2,0) não pertencem a esses ramos (se os desenhássemos isoladamente seriam círculos abertos nesses ramos). Entretanto, o ramo do meio já dá pontos sólidos (-2,0) e (2,0), então no conjunto final esses pontos estão preenchidos.\n
  • Comportamento para grandes |x|: \,x^{2}-4\to +\infty quando x\to\pm\infty. Portanto os ramos esquerdo e direito sobem indefinidamente.

Passo 5

Verificar continuidade e limites nas junções x=\pm 2.
  • Aproximação pela esquerda em -2: \lim_{x\to-2^-}f(x)=\lim_{x\to-2^-}(x^{2}-4)=0.\n
  • Aproximação pela direita em -2: \lim_{x\to-2^+}f(x)=\lim_{x\to-2^+}(4-x^{2})=0. E f(-2)=0. Logo no ponto x=-2 os dois limites laterais existem, são iguais a 0 e o valor de f é 0 → contínuo em x=-2.\n
  • Mesma verificação em x=2: \lim_{x\to2^-}(4-x^{2})=0, \lim_{x\to2^+}(x^{2}-4)=0, e f(2)=0. Logo contínuo em x=2.\n
    Conclusão: a função é contínua em todo \mathbb{R} (não há saltos nas junções).

Passo 6

Calcular alguns pontos adicionais para ajudar no esboço (tabela de pontos úteis):
  • Ramo do meio -2\le x\le 2:
f(-2)=0,\quad f(-1)=4-1=3,\quad f(0)=4,\quad f(1)=3,\quad f(2)=0.
  • Ramo esquerdo x<-2:
f(-3)=(-3)^{2}-4=9-4=5,\quad f(-4)=16-4=12.
  • Ramo direito x>2:
f(3)=3^{2}-4=9-4=5,\quad f(4)=16-4=12.
Com esses pontos: o arco central sobe até y=4 em x=0 e volta a y=0 em x=\pm2; fora desse intervalo os ramos sobem de 0 para valores maiores seguindo a parábola.

Passo 7

Descrever como desenhar o gráfico passo a passo (o que fazer na prova):
  1. Desenhe o arco da parábola \,y=4-x^{2} apenas no intervalo -2\le x\le 2. Marque pontos sólidos em (-2,0), (0,4) e (2,0). Ligue suavemente formando uma cúpula.\n
  2. Desenhe a “perna” esquerda da parábola \,y=x^{2}-4 para x<-2: comece perto de (-2,0) (não incluir esse ponto nesse ramo: seria um círculo aberto se desenhado isoladamente), e desenhe a curva subindo para y\to+\infty conforme x\to-\infty. Use pontos como (-3,5) para orientar.\n
  3. Desenhe a “perna” direita da parábola \,y=x^{2}-4 para x>2: comece perto de (2,0) e desenhe a curva subindo à medida que x aumenta. Use (3,5), (4,12) como guias.\n
  4. Como o ramo do meio fornece pontos sólidos em (-2,0) e (2,0), no gráfico final esses pontos aparecem preenchidos — isto elimina qualquer “buraco” no gráfico. Assim o gráfico é contínuo.\n
  5. Se precisar anotar domínio e imagem: domínio é todos os reais; imagem é [0,4] (o mínimo global 0 ocorre em x=\pm2, o máximo 4 ocorre em x=0).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.\n
Imagem (contradomínio atingido): [0,4].\n
Descrição do gráfico: segmento da parábola \,y=4-x^{2} para -2\le x\le 2 com vértice em (0,4) e pontos finais (-2,0), (2,0); unido às duas “pernas” da parábola \,y=x^{2}-4 para x<-2 e x>2, que passam por valores como (-3,5) e (3,5) e crescem para +\infty. O gráfico é contínuo em todo \mathbb{R}.

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