\mathbf{1}^{\text {a }} Questão (2,5pts) Seja C a curva de interseção dos cilindros x^{2}+y^{2}=25 e y^{2}+z^{2}=20, quando x \geq 0, y \geq 0 e z \geq 0.
a) (\mathbf{1}, \mathbf{0}) Parametrize a curva C e encontre as extremidades do arco.
b) (\mathbf{0 , 5}) Escreva a expressão correspondente ao comprimento do arco. Não é necessário calcular.
c) (\mathbf{1 , 0}) Encontre o ponto da curva cuja reta tangente neste ponto é paralela ao plano 24 x-18 y-25 z+50=0, sabendo que a coordenada z deste ponto é igual a 2 .

Passo 1

O enunciado dá a curva C definida como interseção dos cilindros
x^{2}+y^{2}=25
e
y^{2}+z^{2}=20,
sob as restrições x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0. As perguntas são:
  1. Parametrizar a curva C e encontrar as extremidades do arco (parte (a)).
  2. Escrever a expressão correspondente ao comprimento do arco (parte (b); não calcular o integral).
  3. Encontrar o ponto de C cuja reta tangente é paralela ao plano 24x-18y-25z+50=0, sabendo que a coordenada z desse ponto é 2 (parte (c)).
Informações relevantes do enunciado:
  • As duas equações são cilindros circunscritos aos eixos x e z respectivamente.
  • Estamos somente no primeiro octante ( x,y,z\ge0), logo o parâmetro deve variar de modo a manter todas coordenadas não negativas.
  • Para parte (c) será necessário usar o vetor normal do plano \mathbf{n}=(24,-18,-25) e a condição de paralelismo entre reta e plano (explicarei isso adiante).

Passo 2

Escolha de parametrização (explicação didática e justificativa):
Uma forma prática de parametrizar a interseção é usar um parâmetro trigonométrico que resolva diretamente a segunda equação y^{2}+z^{2}=20. Vou definir um ângulo t tal que \,y e \,z sejam as coordenadas de um círculo de raio \sqrt{20}. Ou seja, tomo:
y(t)=\sqrt{20}\,\sin t,\qquad z(t)=\sqrt{20}\,\cos t.
Comentário didático: essa escolha garante automaticamente y^{2}+z^{2}=20 para todo t. A constante \sqrt{20} é o raio desse círculo ( \sqrt{20}=2\sqrt{5}). Para manter y\ge0 e z\ge0 escolhemos t no intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}].
Com y(t) escolhido, usamos a primeira equação x^{2}+y^{2}=25 para obter x:
x(t)=\sqrt{25-y(t)^{2}}=\sqrt{25-\bigl(\sqrt{20}\sin t\bigr)^{2}} =\sqrt{25-20\sin^{2}t}.
Assim uma parametrização válida (com coordenadas não negativas) é
\mathbf{r}(t)=\bigl(x(t),\,y(t),\,z(t)\bigr) =\Bigl(\sqrt{25-20\sin^{2}t},\;\sqrt{20}\sin t,\;\sqrt{20}\cos t\Bigr).
Explico por que essa parametrização é ótima: ela satisfaz as duas equações para todo t, e escolhendo t\in[0,\tfrac{\pi}{2}] garantimos x\ge0,y\ge0,z\ge0 (primeiro octante). Não usamos outra parametrização mais simples porque uma das duas coordenadas precisa ser obtida como raiz em função da outra; escolher y e z como funções trigonométricas do mesmo ângulo simplifica a segunda equação.

Passo 3

Determinação das extremidades do arco (isto é, os pontos para t nas extremidades do intervalo escolhido):
  • Para t=0:
y(0)=\sqrt{20}\sin 0 = 0,\qquad z(0)=\sqrt{20}\cos 0=\sqrt{20}=2\sqrt5,
x(0)=\sqrt{25-20\sin^{2}0}=\sqrt{25}=5.
Portanto a extremidade em t=0 é o ponto \bigl(5,\,0,\,2\sqrt5\bigr).
  • Para t=\tfrac{\pi}{2}:
y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\sqrt{20}\sin\!\tfrac{\pi}{2}=\sqrt{20}=2\sqrt5,\qquad z\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\sqrt{20}\cos\!\tfrac{\pi}{2}=0,
x\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\sqrt{25-20\sin^{2}\tfrac{\pi}{2}}=\sqrt{25-20}=\sqrt5.
Portanto a outra extremidade é \bigl(\sqrt5,\,2\sqrt5,\,0\bigr).
Comentário didático: interpretar extremidades é só avaliar o vetor posição nos extremos do intervalo do parâmetro; a escolha t\in[0,\tfrac{\pi}{2}] foi feita exatamente para que as duas extremidades estejam no primeiro octante e cubram o arco pedido.

Passo 4

Cálculo de \mathbf{r}'(t) (derivada do vetor posição) — passo a passo e interpretação:
Recordando a parametrização
x(t)=\bigl(25-20\sin^{2}t\bigr)^{1/2},\quad y(t)=\sqrt{20}\sin t,\quad z(t)=\sqrt{20}\cos t,
vamos derivar cada componente.
Derivada de y e z (direta):
y'(t)=\sqrt{20}\cos t,\qquad z'(t)=-\sqrt{20}\sin t.
(Aqui usei que \tfrac{d}{dt}\sin t=\cos t e \tfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t.)
Derivada de x (uso da regra da cadeia para raiz quadrada):
Se x(t)=\bigl(f(t)\bigr)^{1/2} com f(t)=25-20\sin^{2}t, então
x'(t)=\tfrac{1}{2}f(t)^{-1/2}\cdot f'(t).
Calculamos f'(t)=-40\sin t\cos t. Assim
x'(t)=\frac{-40\sin t\cos t}{2\sqrt{25-20\sin^{2}t}} =\frac{-20\sin t\cos t}{\sqrt{25-20\sin^{2}t}}.
Logo o vetor velocidade é
\mathbf{r}'(t)=\left(\frac{-20\sin t\cos t}{\sqrt{25-20\sin^{2}t}},\;\sqrt{20}\cos t,\;-\sqrt{20}\sin t\right).
Comentário didático: \mathbf{r}'(t) é o vetor tangente à curva que aponta na direção da reta tangente naquele ponto. Para o comprimento do arco usa-se o módulo \|\mathbf{r}'(t)\|.

Passo 5

Expressão do comprimento do arco (fórmula e montagem do integral):
Fórmula básica: para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t) com t\in[a,b], o comprimento do arco é
L=\int_{a}^{b}\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt,
onde \|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}.
Aplicando ao nosso caso, com t\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr] e \sqrt{20}=2\sqrt5, obtemos
L=\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\left(\frac{-20\sin t\cos t}{\sqrt{25-20\sin^{2}t}}\right)^{2} +\bigl(\sqrt{20}\cos t\bigr)^{2} +\bigl(-\sqrt{20}\sin t\bigr)^{2}} \;dt.
Posso simplificar levemente os termos y'^{2}+z'^{2} porque
\bigl(\sqrt{20}\cos t\bigr)^{2}+\bigl(\sqrt{20}\sin t\bigr)^{2}=20.
Portanto uma forma mais compacta é
L=\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\frac{400\sin^{2}t\cos^{2}t}{25-20\sin^{2}t}+20}\;dt.
Como o enunciado pediu apenas escrever a expressão, eu paro aqui: este integral é a expressão do comprimento do arco (não é necessário avaliar).

Passo 6

Condição para que a reta tangente em um ponto seja paralela a um plano (explicação):
Seja \mathbf{v} o vetor diretor da reta tangente (podemos tomar \mathbf{v}=\mathbf{r}'(t_{0})). O plano dado tem vetor normal \mathbf{n}=(24,-18,-25) (os coeficientes de x,y,z na equação do plano). Uma reta é paralela a um plano se e somente se seu vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano, ou seja
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0.
Logo, para encontrar o(s) ponto(s) desejado(s) devemos encontrar t_{0} tal que \mathbf{r}'(t_{0})\cdot(24,-18,-25)=0, juntamente com a condição adicional z(t_{0})=2.

Passo 7

Uso da condição z=2 para obter t_{0} e a coordenada y:
Da parametrização temos z(t)=\sqrt{20}\cos t=2\sqrt5\cos t. Impondo z=2 temos
2\sqrt5\cos t=2 \quad\Longrightarrow\quad \cos t=\frac{2}{2\sqrt5}=\frac{1}{\sqrt5}.
Como estamos no primeiro quadrante, \sin t é positivo e
\sin t=\sqrt{1-\cos^{2}t}=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2}{\sqrt5}.
Com esses valores, calculamos y e x no ponto:
y(t)=\sqrt{20}\sin t=2\sqrt5\cdot\frac{2}{\sqrt5}=4,
x(t)=\sqrt{25-20\sin^{2}t}=\sqrt{25-20\cdot\frac{4}{5}}=\sqrt{25-16}=\sqrt9=3.
Portanto o ponto candidato é (3,4,2).

Passo 8

Verificação da condição \mathbf{n}\cdot\mathbf{r}'(t_{0})=0 e conclusão:
Primeiro calculemos \mathbf{r}'(t) nas coordenadas numéricas usando \sin t=\tfrac{2}{\sqrt5}, \cos t=\tfrac{1}{\sqrt5} e x(t)=3.
  • Usando a fórmula obtida,
x'(t)=\frac{-20\sin t\cos t}{\sqrt{25-20\sin^{2}t}} =\frac{-20\cdot\frac{2}{\sqrt5}\cdot\frac{1}{\sqrt5}}{3} =\frac{-20\cdot\frac{2}{5}}{3}=\frac{-40/5}{3}=\frac{-8}{3}.
  • Para y' e z':
y'(t)=\sqrt{20}\cos t=2\sqrt5\cdot\frac{1}{\sqrt5}=2,
z'(t)=-\sqrt{20}\sin t=-2\sqrt5\cdot\frac{2}{\sqrt5}=-4.
Logo o vetor tangente (diretor da reta tangente) é
\mathbf{r}'(t_{0})=\Bigl(-\tfrac{8}{3},\;2,\;-4\Bigr).
Agora o produto escalar com \mathbf{n}=(24,-18,-25) é
\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}'(t_{0}) =24\cdot\Bigl(-\tfrac{8}{3}\Bigr)+(-18)\cdot 2+(-25)\cdot(-4).
Calcule termo a termo:
24\cdot\Bigl(-\tfrac{8}{3}\Bigr)=-64,\qquad (-18)\cdot 2=-36,\qquad (-25)\cdot(-4)=100.
Somando: -64-36+100=0. Assim a condição \mathbf{n}\cdot\mathbf{r}'(t_{0})=0 é satisfeita.
Conclusão: o ponto da curva com z=2 cuja reta tangente é paralela ao plano dado é (3,4,2).

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{r}(t)=\Bigl(\sqrt{25-20\sin^{2}t},\;\sqrt{20}\sin t,\;\sqrt{20}\cos t\Bigr),\quad t\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr].\nExtremidades: \bigl(5,0,2\sqrt5\bigr) e \bigl(\sqrt5,\,2\sqrt5,\,0\bigr).\n(b) \displaystyle L=\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\frac{400\sin^{2}t\cos^{2}t}{25-20\sin^{2}t}+20}\;dt.\n(c) (3,4,2).

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