\mathbf{1}^{\text {a }} Questão (2,5pts) Seja C a curva de interseção dos cilindros x^{2}+y^{2}=25 e y^{2}+z^{2}=20, quando x \geq 0, y \geq 0 e z \geq 0.
a) (\mathbf{1}, \mathbf{0}) Parametrize a curva C e encontre as extremidades do arco.
b) (\mathbf{0 , 5}) Escreva a expressão correspondente ao comprimento do arco. Não é necessário calcular.
c) (\mathbf{1 , 0}) Encontre o ponto da curva cuja reta tangente neste ponto é paralela ao plano 24 x-18 y-25 z+50=0, sabendo que a coordenada z deste ponto é igual a 2 .
Passo 1
O enunciado dá a curva C definida como interseção dos cilindros
x^{2}+y^{2}=25
e
y^{2}+z^{2}=20,
sob as restrições x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0. As perguntas são:
Parametrizar a curva C e encontrar as extremidades do arco (parte (a)).
Escrever a expressão correspondente ao comprimento do arco (parte (b); não calcular o integral).
Encontrar o ponto de C cuja reta tangente é paralela ao plano 24x-18y-25z+50=0, sabendo que a coordenada z desse ponto é 2 (parte (c)).
Informações relevantes do enunciado:
As duas equações são cilindros circunscritos aos eixos x e z respectivamente.
Estamos somente no primeiro octante (x,y,z\ge0), logo o parâmetro deve variar de modo a manter todas coordenadas não negativas.
Para parte (c) será necessário usar o vetor normal do plano \mathbf{n}=(24,-18,-25) e a condição de paralelismo entre reta e plano (explicarei isso adiante).
Passo 2
Escolha de parametrização (explicação didática e justificativa):
Uma forma prática de parametrizar a interseção é usar um parâmetro trigonométrico que resolva diretamente a segunda equação y^{2}+z^{2}=20. Vou definir um ângulo t tal que \,y e \,z sejam as coordenadas de um círculo de raio \sqrt{20}. Ou seja, tomo:
y(t)=\sqrt{20}\,\sin t,\qquad z(t)=\sqrt{20}\,\cos t.
Comentário didático: essa escolha garante automaticamente y^{2}+z^{2}=20 para todo t. A constante \sqrt{20} é o raio desse círculo (\sqrt{20}=2\sqrt{5}). Para manter y\ge0 e z\ge0 escolhemos t no intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}].
Com y(t) escolhido, usamos a primeira equação x^{2}+y^{2}=25 para obter x:
Explico por que essa parametrização é ótima: ela satisfaz as duas equações para todo t, e escolhendo t\in[0,\tfrac{\pi}{2}] garantimos x\ge0,y\ge0,z\ge0 (primeiro octante). Não usamos outra parametrização mais simples porque uma das duas coordenadas precisa ser obtida como raiz em função da outra; escolher y e z como funções trigonométricas do mesmo ângulo simplifica a segunda equação.
Passo 3
Determinação das extremidades do arco (isto é, os pontos para t nas extremidades do intervalo escolhido):
Portanto a outra extremidade é \bigl(\sqrt5,\,2\sqrt5,\,0\bigr).
Comentário didático: interpretar extremidades é só avaliar o vetor posição nos extremos do intervalo do parâmetro; a escolha t\in[0,\tfrac{\pi}{2}] foi feita exatamente para que as duas extremidades estejam no primeiro octante e cubram o arco pedido.
Passo 4
Cálculo de \mathbf{r}'(t) (derivada do vetor posição) — passo a passo e interpretação:
Recordando a parametrização
Comentário didático: \mathbf{r}'(t) é o vetor tangente à curva que aponta na direção da reta tangente naquele ponto. Para o comprimento do arco usa-se o módulo \|\mathbf{r}'(t)\|.
Passo 5
Expressão do comprimento do arco (fórmula e montagem do integral):
Fórmula básica: para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t) com t\in[a,b], o comprimento do arco é
L=\int_{a}^{b}\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt,
onde \|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}.
Aplicando ao nosso caso, com t\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr] e \sqrt{20}=2\sqrt5, obtemos
Como o enunciado pediu apenas escrever a expressão, eu paro aqui: este integral é a expressão do comprimento do arco (não é necessário avaliar).
Passo 6
Condição para que a reta tangente em um ponto seja paralela a um plano (explicação):
Seja \mathbf{v} o vetor diretor da reta tangente (podemos tomar \mathbf{v}=\mathbf{r}'(t_{0})). O plano dado tem vetor normal \mathbf{n}=(24,-18,-25) (os coeficientes de x,y,z na equação do plano). Uma reta é paralela a um plano se e somente se seu vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano, ou seja
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0.
Logo, para encontrar o(s) ponto(s) desejado(s) devemos encontrar t_{0} tal que \mathbf{r}'(t_{0})\cdot(24,-18,-25)=0, juntamente com a condição adicional z(t_{0})=2.
Passo 7
Uso da condição z=2 para obter t_{0} e a coordenada y:
Da parametrização temos z(t)=\sqrt{20}\cos t=2\sqrt5\cos t. Impondo z=2 temos
Verificação da condição \mathbf{n}\cdot\mathbf{r}'(t_{0})=0 e conclusão:
Primeiro calculemos \mathbf{r}'(t) nas coordenadas numéricas usando \sin t=\tfrac{2}{\sqrt5}, \cos t=\tfrac{1}{\sqrt5} e x(t)=3.