(Comutativa);
Prova:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- São dados os vetores
e . Aqui cada e é um número real. - O que se pede: provar que a soma vetorial é comutativa, isto é, mostrar que
.
Passo 2
Definição usada (explicada devagarzinho): soma de vetores em coordenadas.
- A soma de dois vetores em
é definida componente a componente. Isso significa que
- Igualdade entre vetores significa que todas as componentes correspondentes são iguais. Ou seja, dois vetores são iguais se, para todo
com , a -ésima componente de um é igual à -ésima componente do outro.
Passo 3
Escrevendo explicitamente
pela mesma definição de soma por coordenadas:
Aqui só trocamos a ordem dos vetores na definição, mantendo a soma componente a componente.
Passo 4
Usando a propriedade básica da aritmética real (essa é a chave): para quaisquer números reais
e
vale
Isto é a comutatividade da adição em
. Aplicando isso a cada par de componentes
, obtemos, para todo
,
Passo 5
Agora substituímos as igualdades componentes a componentes na expressão de
. Como para todo
temos
, segue que
Pelo que escrevemos nos Passos 2 e 3, isso é exatamente
Passo 6
Comentário didático e um exemplo numérico rápido para fixar: se
e
, então
e
mostrando concretamente que a ordem não importa porque a adição de números reais é comutativa. É exatamente esse raciocínio componente a componente que generalizamos para qualquer
.