\mathrm{u}+\mathrm{v}=\mathrm{v}+\mathrm{u} (Comutativa);
Prova: u+v=\left(x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}, \ldots, x_{n}+y_{n}\right)
\begin{aligned} & =\left(y_{1}+x_{1}, y_{2}+x_{2}, \ldots, y_{n}+x_{n}\right) \\\ & =v+u \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • São dados os vetores \displaystyle u=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}) e \displaystyle v=(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}). Aqui cada x_{i} e y_{i} é um número real.
  • O que se pede: provar que a soma vetorial é comutativa, isto é, mostrar que \displaystyle u+v=v+u.

Passo 2

Definição usada (explicada devagarzinho): soma de vetores em coordenadas.
  • A soma de dois vetores em \mathbb{R}^{n} é definida componente a componente. Isso significa que
u+v=\bigl(x_{1}+y_{1},\,x_{2}+y_{2},\,\ldots,\,x_{n}+y_{n}\bigr).
  • Igualdade entre vetores significa que todas as componentes correspondentes são iguais. Ou seja, dois vetores são iguais se, para todo i com 1\le i\le n, a i-ésima componente de um é igual à i-ésima componente do outro.

Passo 3

Escrevendo explicitamente v+u pela mesma definição de soma por coordenadas:
v+u=\bigl(y_{1}+x_{1},\,y_{2}+x_{2},\,\ldots,\,y_{n}+x_{n}\bigr).
Aqui só trocamos a ordem dos vetores na definição, mantendo a soma componente a componente.

Passo 4

Usando a propriedade básica da aritmética real (essa é a chave): para quaisquer números reais a e b vale
a+b=b+a.
Isto é a comutatividade da adição em \mathbb{R}. Aplicando isso a cada par de componentes (x_{i},y_{i}), obtemos, para todo i,
x_{i}+y_{i}=y_{i}+x_{i}.

Passo 5

Agora substituímos as igualdades componentes a componentes na expressão de u+v. Como para todo i temos x_{i}+y_{i}=y_{i}+x_{i}, segue que
\bigl(x_{1}+y_{1},\,x_{2}+y_{2},\,\ldots,\,x_{n}+y_{n}\bigr) = \bigl(y_{1}+x_{1},\,y_{2}+x_{2},\,\ldots,\,y_{n}+x_{n}\bigr).
Pelo que escrevemos nos Passos 2 e 3, isso é exatamente
u+v=v+u.

Passo 6

Comentário didático e um exemplo numérico rápido para fixar: se u=(1,2,3) e v=(4,5,6), então
u+v=(1+4,\,2+5,\,3+6)=(5,7,9)
e
v+u=(4+1,\,5+2,\,6+3)=(5,7,9),
mostrando concretamente que a ordem não importa porque a adição de números reais é comutativa. É exatamente esse raciocínio componente a componente que generalizamos para qualquer n.

Resposta

u+v=v+u

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