(\mathrm{u}+\mathrm{v})+\mathrm{w}=\mathrm{u}+(\mathrm{v}+\mathrm{w}) (Associativa);
Prova: (\mathrm{u}+\mathrm{v})+\mathrm{w}=\left(\mathrm{x}_{1}+\mathrm{y}_{1}, \mathrm{x}_{2}+\mathrm{y}_{2}, \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}+\mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right)+\left(\mathrm{z}_{1}\right., \left.\mathrm{z}_{2}, \ldots, \mathrm{z}_{\mathrm{n}}\right)=\left(\left(\mathrm{x}_{1}+\mathrm{y}_{1}\right)+\mathrm{z}_{1},\left(\mathrm{x}_{2}+\mathrm{y}_{2}\right)+\mathrm{z}_{2}, \ldots,\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}+\mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right)+\right. \left.\mathrm{z}_{\mathrm{n}}\right)=\left(\mathrm{x}_{1}+\left(\mathrm{y}_{1}+\mathrm{z}_{1}\right), \mathrm{x}_{2}+\left(\mathrm{y}_{2}+\mathrm{z}_{2}\right), \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}+\left(\mathrm{y}_{\mathrm{n}}+\mathrm{z}_{\mathrm{n}}\right)\right)=\mathrm{u}+ ( \mathrm{v}+\mathrm{w} )

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade (\mathrm{u}+\mathrm{v})+\mathrm{w}=\mathrm{u}+(\mathrm{v}+\mathrm{w}) (associatividade da soma de vetores). As informações dadas (que vou usar tal como estão) são:
  • Existem vetores \mathrm{u},\mathrm{v},\mathrm{w} em \mathbb{R}^{n}.
  • Cada vetor tem coordenadas reais; escrevo-os explicitamente como
\mathrm{u}=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}),\qquad \mathrm{v}=(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}),\qquad \mathrm{w}=(z_{1},z_{2},\ldots,z_{n}),
onde cada x_{i},y_{i},z_{i} é um número real para i=1,\ldots,n.
O que se pede: mostrar, passo a passo, que somar \mathrm{u} com \mathrm{v} e depois somar \mathrm{w} dá o mesmo resultado que somar \mathrm{v} com \mathrm{w} e depois somar \mathrm{u}.

Passo 2

Definição de soma de vetores (explicando cada símbolo): a soma de dois vetores em \mathbb{R}^{n} é feita coordenada a coordenada. Ou seja, para qualquer i com 1\le i\le n,
(\mathrm{u}+\mathrm{v})_{i}=x_{i}+y_{i}.
Em forma vetorial,
\mathrm{u}+\mathrm{v}=(x_{1}+y_{1},\,x_{2}+y_{2},\,\ldots,\,x_{n}+y_{n}).
Aqui (\mathrm{u}+\mathrm{v})_{i} indica a i-ésima coordenada do vetor \mathrm{u}+\mathrm{v}; e x_{i}+y_{i} é a soma usual de números reais.

Passo 3

Definição de igualdade entre vetores (explicando por que basta verificar coordenadas): dois vetores em \mathbb{R}^{n} são iguais se, e somente se, todas as suas coordenadas correspondentes são iguais. Em símbolos, \mathrm{a}=\mathrm{b} se e somente se \mathrm{a}_{i}=\mathrm{b}_{i} para todo i=1,\ldots,n.
Portanto, para provar (\mathrm{u}+\mathrm{v})+\mathrm{w}=\mathrm{u}+(\mathrm{v}+\mathrm{w}) basta provar que as i-ésimas coordenadas de cada lado são iguais para todo i.

Passo 4

Escrevendo as coordenadas do lado esquerdo: primeiro calcule \mathrm{u}+\mathrm{v} e depois some \mathrm{w}. Usando a definição de soma coordenada a coordenada,
\mathrm{u}+\mathrm{v}=(x_{1}+y_{1},\,x_{2}+y_{2},\,\ldots,\,x_{n}+y_{n}).
Agora somando \mathrm{w}=(z_{1},\ldots,z_{n}) a esse vetor, a i-ésima coordenada de (\mathrm{u}+\mathrm{v})+\mathrm{w} é
\bigl((\mathrm{u}+\mathrm{v})+\mathrm{w}\bigr)_{i}=(x_{i}+y_{i})+z_{i}.
Expliquei: peguei a expressão de \mathrm{u}+\mathrm{v} das informações que escrevi no Passo 1 e apliquei a regra de soma de vetores.

Passo 5

Escrevendo as coordenadas do lado direito: primeiro calcule \mathrm{v}+\mathrm{w} e depois some \mathrm{u}. Pela definição,
\mathrm{v}+\mathrm{w}=(y_{1}+z_{1},\,y_{2}+z_{2},\,\ldots,\,y_{n}+z_{n}).
Somando \mathrm{u}=(x_{1},\ldots,x_{n}) a esse vetor, a i-ésima coordenada de \mathrm{u}+(\mathrm{v}+\mathrm{w}) é
\bigl(\mathrm{u}+(\mathrm{v}+\mathrm{w})\bigr)_{i}=x_{i}+(y_{i}+z_{i}).

Passo 6

Usando associatividade da soma de números reais (a parte crucial da aula): a soma em \mathbb{R} é associativa, isto é, para quaisquer números reais a,b,c vale (a+b)+c=a+(b+c). Aplicando isso aos números x_{i},y_{i},z_{i} (cada coordenada), obtemos para todo i
(x_{i}+y_{i})+z_{i}=x_{i}+(y_{i}+z_{i}).
Esta igualdade é verdadeira porque é uma propriedade básica dos números reais (nos exames aceite como um axioma ou propriedade já demonstrada nas aulas de álgebra/aritmética).

Passo 7

Comparando coordenadas e concluindo a igualdade vetorial: juntando os Passos 4, 5 e 6, para cada i temos
\bigl((\mathrm{u}+\mathrm{v})+\mathrm{w}\bigr)_{i} =(x_{i}+y_{i})+z_{i} = x_{i}+(y_{i}+z_{i}) = \bigl(\mathrm{u}+(\mathrm{v}+\mathrm{w})\bigr)_{i}.
Como isso vale para todo i=1,\ldots,n, pelas regras de igualdade de vetores em \mathbb{R}^{n} concluímos
(\mathrm{u}+\mathrm{v})+\mathrm{w}=\mathrm{u}+(\mathrm{v}+\mathrm{w}).

Passo 8

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (faça isso na prova só se precisar ilustrar): tome n=3,
\mathrm{u}=(1,2,3),\qquad \mathrm{v}=(4,5,6),\qquad \mathrm{w}=(7,8,9).
Calcule o lado esquerdo:
\mathrm{u}+\mathrm{v}=(5,7,9),\qquad (\mathrm{u}+\mathrm{v})+\mathrm{w}=(12,15,18).
Calcule o lado direito:
\mathrm{v}+\mathrm{w}=(11,13,15),\qquad \mathrm{u}+(\mathrm{v}+\mathrm{w})=(12,15,18).
Os dois lados coincidem coordenada a coordenada, confirmando o argumento geral.

Passo 9

Dica prática para a prova (rápido e elegante): comece escrevendo \mathrm{u}=(x_{1},\ldots,x_{n}), \mathrm{v}=(y_{1},\ldots,y_{n}), \mathrm{w}=(z_{1},\ldots,z_{n}). Depois mostre que as i-ésimas coordenadas dos dois lados são iguais usando a associatividade em \mathbb{R}. Isso é curto, claro e não pede mais do que o essencial.

Resposta

(\mathrm{u}+\mathrm{v})+\mathrm{w}=\mathrm{u}+(\mathrm{v}+\mathrm{w})

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