(Associativa);
Prova:
,
(
)
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade
(associatividade da soma de vetores). As informações dadas (que vou usar tal como estão) são:
- Existem vetores
em . - Cada vetor tem coordenadas reais; escrevo-os explicitamente como
onde cada
é um número real para
.
O que se pede: mostrar, passo a passo, que somar
com
e depois somar
dá o mesmo resultado que somar
com
e depois somar
.
Passo 2
Definição de soma de vetores (explicando cada símbolo): a soma de dois vetores em
é feita coordenada a coordenada. Ou seja, para qualquer
com
,
Em forma vetorial,
Aqui
indica a
-ésima coordenada do vetor
; e
é a soma usual de números reais.
Passo 3
Definição de igualdade entre vetores (explicando por que basta verificar coordenadas): dois vetores em
são iguais se, e somente se, todas as suas coordenadas correspondentes são iguais. Em símbolos,
se e somente se
para todo
.
Portanto, para provar
basta provar que as
-ésimas coordenadas de cada lado são iguais para todo
.
Passo 4
Escrevendo as coordenadas do lado esquerdo: primeiro calcule
e depois some
. Usando a definição de soma coordenada a coordenada,
Agora somando
a esse vetor, a
-ésima coordenada de
é
Expliquei: peguei a expressão de
das informações que escrevi no Passo 1 e apliquei a regra de soma de vetores.
Passo 5
Escrevendo as coordenadas do lado direito: primeiro calcule
e depois some
. Pela definição,
Somando
a esse vetor, a
-ésima coordenada de
é
Passo 6
Usando associatividade da soma de números reais (a parte crucial da aula): a soma em
é associativa, isto é, para quaisquer números reais
vale
. Aplicando isso aos números
(cada coordenada), obtemos para todo
Esta igualdade é verdadeira porque é uma propriedade básica dos números reais (nos exames aceite como um axioma ou propriedade já demonstrada nas aulas de álgebra/aritmética).
Passo 7
Comparando coordenadas e concluindo a igualdade vetorial: juntando os Passos 4, 5 e 6, para cada
temos
Como isso vale para todo
, pelas regras de igualdade de vetores em
concluímos
Passo 8
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (faça isso na prova só se precisar ilustrar): tome
,
Calcule o lado esquerdo:
Calcule o lado direito:
Os dois lados coincidem coordenada a coordenada, confirmando o argumento geral.
Passo 9
Dica prática para a prova (rápido e elegante): comece escrevendo
,
,
. Depois mostre que as
-ésimas coordenadas dos dois lados são iguais usando a associatividade em
. Isso é curto, claro e não pede mais do que o essencial.