o enunciado pergunta: a matriz B é diagonalizável? Justifique.
Informações relevantes: a matriz B é 3\times3. Temos que decidir se existe uma base de \mathbb{R}^3 (ou \mathbb{C}^3) formada por autovetores de B.
Passo 2
Conceitos importantes (explicação didática):
Dizemos que uma matriz A é diagonalizável se existe uma matriz invertível P tal que P^{-1}AP é diagonal. Equivalentemente, A é diagonalizável se existe uma base do espaço formada por autovetores de A. Para uma matriz n\times n isso significa que precisamos de n autovetores linearmente independentes.
Para cada autovalor \lambda temos:
multiplicidade algébrica: é a multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico \chi_A(\lambda);
multiplicidade geométrica: é a dimensão do espaço próprio (autovalores) correspondente a \lambda, isto é, \dim\ker(A-\lambda I).
Regra prática: uma matriz é diagonalizável se, para cada autovalor \lambda, a multiplicidade geométrica iguala a multiplicidade algébrica e a soma das multiplicidades geométricas é n. Em particular, se existir algum autovalor cuja multiplicidade geométrica seja menor que a multiplicidade algébrica, a matriz NÃO é diagonalizável.
Passo 3
Calcular o polinômio característico \chi_B(\lambda)=\det(B-\lambda I). Primeiro escrevemos B-\lambda I:
Observamos que a terceira equação é o dobro da segunda, então só há uma equação independente não-trivial: x+2y-z=0\]. Vamos parametrizar as soluções:
- Escolhemos parâmetros \(s,y=s e t,z=t. Da equação x=-2y+z obtemos x=-2s+t.
Portanto o vetor geral do espaço próprio é
v=(x,y,z)=(-2s+t,\;s,\;t)=s(-2,1,0)+t(1,0,1).
Isso mostra que uma base do espaço próprio é, por exemplo, \{(-2,1,0),\;(1,0,1)\}. Assim a dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica de \lambda=1) é 2.]
Passo 5
Conclusão final do raciocínio: a multiplicidade algébrica de \lambda=1 é 3, mas a multiplicidade geométrica é 2. Como a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica para o autovalor \lambda=1, não existe um conjunto de três autovetores linearmente independentes. Portanto B não é diagonalizável.
Resposta
Não. O autovalor \lambda=1 tem multiplicidade algébrica 3 e multiplicidade geométrica 2, portanto B não é diagonalizável.