Quais das matrizes abaixo são simétricas positivas definidas? B=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 4\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz
B=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix}
e pergunta quais das matrizes apresentadas são simétricas positivas definidas. Aqui só temos a matriz B. Informações relevantes do enunciado: a matriz B é 2\times 2 com entradas superiores e inferiores indicadas acima. A pergunta a responder é: a matriz B é simétrica definida positiva?]
Passo 2
Vamos entender bem o que significa “simétrica definida positiva”, passo a passo, sem pressa.
Definição de simetria: uma matriz A é simétrica se
A^{T}=A,
ou seja, se a transposta coincide com a matriz original. Aqui A^{T} significa trocar linhas por colunas.
Definição de positiva definida: uma matriz simétrica A é positiva definida se para todo vetor coluna não nulo x\in\mathbb{R}^{n} vale
x^{T} A x > 0.
Aqui x^{T} A x é um número (escalar) chamado forma quadrática associada a A. A condição diz: essa forma quadrática deve ser estritamente positiva sempre que x\neq 0.
Essas definições servem para sabermos o que verificar na prova. Mas há um critério prático muito usado (Sylvester), que vou explicar e aplicar a seguir.
Passo 3
Critério de Sylvester (motivo prático): para uma matriz simétrica n\times n, ela é positiva definida se, e somente se, todos os menores principais superiores (leading principal minors) forem positivos. Esses menores são os determinantes das submatrizes obtidas pegando as primeiras k linhas e colunas, para k=1,\dots,n.
Para 2\times 2 isso fica muito simples:
primeiro menor principal: o elemento (1,1);
segundo menor principal: \det(B).
Escolhi esse método porque aqui a matriz é pequena e calcular determinantes de submatrizes é rápido e evita ter que conferir a forma quadrática para todos os vetores.
Como \det(B)=7>0, o segundo menor principal também é positivo.]
Passo 7
Aplicando o critério de Sylvester: como todos os menores principais superiores (m_{1}=2>0 e m_{2}=\det(B)=7>0) são positivos, concluímos que a matriz B é positiva definida. Juntando com a simetria verificada no Passo 4, B é simétrica definida positiva.
Para reforçar a intuição: a forma quadrática é
x^{T} B x = 2x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} + 4x_{2}^{2}.
que é soma de termos não negativos e só pode ser zero se x_{2}=0 e x_{1}+\tfrac{1}{2}x_{2}=0 simultaneamente, o que implica x_{1}=x_{2}=0. Portanto para todo x\neq 0 a forma é estritamente positiva — mais uma verificação direta da positividade definida.