A medida do lado, o perímetro e a área de um quadrado estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Qual a área do quadrado?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual a área do quadrado?” e nos dá que, nessa ordem, as três medidas — o lado, o perímetro e a área do quadrado — formam uma progressão geométrica.
Informações relevantes fornecidas:
- A medida do lado é um número positivo desconhecido (vamos chamá‑lo de
). - O perímetro do quadrado é
. - A área do quadrado é
. - Esses três números, na ordem
lado, perímetro, área , estão em progressão geométrica.
Passo 2
Vamos lembrar o que é uma progressão geométrica (PG) de forma bem didática.
Definição: três números
,
,
estão em progressão geométrica se existe uma razão comum
tal que
e
. A consequência mais prática e usada frequentemente é a relação
que vem de
.
Essa relação é muito útil porque evita precisar achar
explicitamente: basta usar
.
Passo 3
Agora aplicamos essa propriedade aos três números do enunciado. Tomando
como o lado
,
como o perímetro
e
como a área
, escrevemos a condição da PG:
Vamos desenvolver cada lado dessa igualdade passo a passo.
O lado esquerdo é
O lado direito é
Logo a equação fica
Passo 4
Resolvendo a equação
:
Primeiro, observar que
satisfaz a igualdade algebraicamente, mas
significaria um “quadrado” degenerado sem área/medida útil; como estamos tratando de um quadrado com medida de lado positiva, descartamos
.
Para
podemos dividir ambos os lados por
:
Portanto o lado do quadrado é
.
Passo 5
Agora calculamos a área do quadrado a partir de
:
Passo 6
Verificação rápida (útil para a prova): razão entre perímetro e lado:
Razão entre área e perímetro:
As razões coincidem, então realmente os três termos estão em PG com razão
, confirmando que o resultado está consistente.
Resposta
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