A medida do lado, o perímetro e a área de um quadrado estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Qual a área do quadrado?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a área do quadrado?” e nos dá que, nessa ordem, as três medidas — o lado, o perímetro e a área do quadrado — formam uma progressão geométrica.
Informações relevantes fornecidas:
  • A medida do lado é um número positivo desconhecido (vamos chamá‑lo de s).
  • O perímetro do quadrado é 4s.
  • A área do quadrado é s^{2}.
  • Esses três números, na ordem lado, perímetro, área , estão em progressão geométrica.

Passo 2

Vamos lembrar o que é uma progressão geométrica (PG) de forma bem didática.
Definição: três números a, b, c estão em progressão geométrica se existe uma razão comum r tal que b = ar e c = ar^{2}. A consequência mais prática e usada frequentemente é a relação
b^{2} = a\cdot c,
que vem de b^{2}=(ar)^{2}=a\cdot(ar^{2})=a\cdot c.
Essa relação é muito útil porque evita precisar achar r explicitamente: basta usar b^{2}=ac.

Passo 3

Agora aplicamos essa propriedade aos três números do enunciado. Tomando a como o lado s, b como o perímetro 4s e c como a área s^{2}, escrevemos a condição da PG:
(4s)^{2} = s\cdot s^{2}.
Vamos desenvolver cada lado dessa igualdade passo a passo.
O lado esquerdo é
(4s)^{2} = 16s^{2}.
O lado direito é
s\cdot s^{2} = s^{3}.
Logo a equação fica
16s^{2} = s^{3}.

Passo 4

Resolvendo a equação 16s^{2}=s^{3}:
Primeiro, observar que s=0 satisfaz a igualdade algebraicamente, mas s=0 significaria um “quadrado” degenerado sem área/medida útil; como estamos tratando de um quadrado com medida de lado positiva, descartamos s=0.
Para s\neq 0 podemos dividir ambos os lados por s^{2}:
16 = s.
Portanto o lado do quadrado é s=16.

Passo 5

Agora calculamos a área do quadrado a partir de s:
\text{área} = s^{2} = 16^{2} = 256.á

Passo 6

Verificação rápida (útil para a prova): razão entre perímetro e lado:
\frac{4s}{s}=4.
Razão entre área e perímetro:
\frac{s^{2}}{4s}=\frac{s}{4}=\frac{16}{4}=4.
As razões coincidem, então realmente os três termos estão em PG com razão r=4, confirmando que o resultado está consistente.

Resposta

256

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