O menor ângulo interno do triângulo cujos vértices são A=(0,1), B=(-1,0) e C=(2,-1) é dado por:
a) \operatorname{arccos} (1 / \sqrt{5})
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas dos vértices do triângulo e pede qual é o menor ângulo interno. Dados fornecidos:
A=(0,1)
B=(-1,0)
C=(2,-1)
Pergunta: qual é o menor ângulo interno do triângulo ABC?
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): para achar um ângulo interior num triângulo dado por coordenadas, uma forma direta é usar vetores entre os vértices e o produto escalar. Vou definir vetores entre pares de vértices e depois calcular cossenos dos ângulos por
Explicando: o produto escalar dá uma medida de “alinhamento” entre vetores; dividindo pela norma de cada um obtemos o cosseno do ângulo entre eles. Com o cosseno, o ângulo é \operatorname{arccos} desse valor.
Passo 3
Calcular os vetores entre vértices (subtração de coordenadas componente a componente):
\overrightarrow{AB}=B-A = (-1,0)-(0,1)=(-1,-1),
\overrightarrow{AC}=C-A = (2,-1)-(0,1)=(2,-2),
\overrightarrow{BC}=C-B = (2,-1)-(-1,0)=(3,-1).
Também é útil os vetores na direção inversa, por exemplo \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=(1,1) e \overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}=(-2,2).
Passo 4
Calcular o ângulo em A (entre \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}):
Primeiro o produto escalar:
Logo \angle A=\operatorname{arccos}(0)=\tfrac{\pi}{2} (ou 90^\circ). Observação amigável: o produto escalar zero indica que os vetores são perpendiculares, então o ângulo em A é reto.
Passo 5
Calcular o ângulo em B (entre \overrightarrow{BA} e \overrightarrow{BC}):
Vetores usados: \overrightarrow{BA}=(1,1) e \overrightarrow{BC}=(3,-1).
Produto escalar:
Calcular o ângulo em C (entre \overrightarrow{CA} e \overrightarrow{CB}):
Vetores usados: \overrightarrow{CA}=(-2,2) e \overrightarrow{CB}=(-3,1).
Produto escalar:
Como no intervalo [0,\pi] a função \cos é estritamente decrescente, um cosseno maior corresponde a um ângulo menor. Assim \cos\angle C é o maior dos três cossenos, logo \angle C é o menor ângulo do triângulo. Conclusão: o menor ângulo é em C e vale \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right).
Força aí — triângulo retângulo em A e menor ângulo em C. Boa!