1. O menor ângulo interno do triângulo cujos vértices são A=(0,1), B=(-1,0) e C=(2,-1) é dado por:
    a) \operatorname{arccos} (1 / \sqrt{5})

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos vértices do triângulo e pede qual é o menor ângulo interno. Dados fornecidos:
  • A=(0,1)
  • B=(-1,0)
  • C=(2,-1)
Pergunta: qual é o menor ângulo interno do triângulo ABC?

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): para achar um ângulo interior num triângulo dado por coordenadas, uma forma direta é usar vetores entre os vértices e o produto escalar. Vou definir vetores entre pares de vértices e depois calcular cossenos dos ângulos por
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|},
onde, para vetores \vec{u}=(u_x,u_y) e \vec{v}=(v_x,v_y),
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_xv_x+u_yv_y, \qquad \|\vec{u}\|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}.
Explicando: o produto escalar dá uma medida de “alinhamento” entre vetores; dividindo pela norma de cada um obtemos o cosseno do ângulo entre eles. Com o cosseno, o ângulo é \operatorname{arccos} desse valor.

Passo 3

Calcular os vetores entre vértices (subtração de coordenadas componente a componente):
\overrightarrow{AB}=B-A = (-1,0)-(0,1)=(-1,-1),
\overrightarrow{AC}=C-A = (2,-1)-(0,1)=(2,-2),
\overrightarrow{BC}=C-B = (2,-1)-(-1,0)=(3,-1).
Também é útil os vetores na direção inversa, por exemplo \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=(1,1) e \overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}=(-2,2).

Passo 4

Calcular o ângulo em A (entre \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}):
Primeiro o produto escalar:
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-1)\cdot 2 + (-1)\cdot(-2) = -2 + 2 = 0.
Normas:
\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}, \qquad \|\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Portanto
\cos\angle A=\frac{0}{\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}}=0.
Logo \angle A=\operatorname{arccos}(0)=\tfrac{\pi}{2} (ou 90^\circ). Observação amigável: o produto escalar zero indica que os vetores são perpendiculares, então o ângulo em A é reto.

Passo 5

Calcular o ângulo em B (entre \overrightarrow{BA} e \overrightarrow{BC}):
Vetores usados: \overrightarrow{BA}=(1,1) e \overrightarrow{BC}=(3,-1).
Produto escalar:
\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=1\cdot 3 + 1\cdot(-1)=3-1=2.
Normas:
\|\overrightarrow{BA}\|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}, \qquad \|\overrightarrow{BC}\|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}.
Então
\cos\angle B=\frac{2}{\sqrt{2}\,\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{20}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.
Portanto
\angle B=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right).

Passo 6

Calcular o ângulo em C (entre \overrightarrow{CA} e \overrightarrow{CB}):
Vetores usados: \overrightarrow{CA}=(-2,2) e \overrightarrow{CB}=(-3,1).
Produto escalar:
\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(-2)\cdot(-3)+2\cdot 1=6+2=8.
Normas:
\|\overrightarrow{CA}\|=\|\overrightarrow{AC}\|=2\sqrt{2}, \qquad \|\overrightarrow{CB}\|=\|\overrightarrow{BC}\|=\sqrt{10}.
Logo
\cos\angle C=\frac{8}{2\sqrt{2}\,\sqrt{10}}=\frac{8}{2\sqrt{20}}=\frac{4}{\sqrt{20}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
Portanto
\angle C=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right).

Passo 7

Comparar os três ângulos para achar o menor. Valores dos cossenos encontrados:
\cos\angle A=0,\qquad \cos\angle B=\frac{1}{\sqrt{5}}\approx 0{,}447,\qquad \cos\angle C=\frac{2}{\sqrt{5}}\approx 0{,}894.
Como no intervalo [0,\pi] a função \cos é estritamente decrescente, um cosseno maior corresponde a um ângulo menor. Assim \cos\angle C é o maior dos três cossenos, logo \angle C é o menor ângulo do triângulo. Conclusão: o menor ângulo é em C e vale \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right).
Força aí — triângulo retângulo em A e menor ângulo em C. Boa!

Resposta

\displaystyle \operatorname{arccos}\!\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)

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