No modelo de Bohr, considere que a diferença entre os raios das órbitas n+1 e n-2 é:
\Delta r=15 a_{0}
Determine:
  • o valor de n
  • os comprimentos de onda (em nm ) dos fótons emitidos nas transições:
  • n+1 \rightarrow n-2
  • $n \rightarrow n-2

Passo 1

O enunciado fornece a diferença entre os raios de duas órbitas no modelo de Bohr:
\Delta r = 15\,a_0,
onde a_0 é o raio de Bohr. As órbitas envolvidas são as de índices n+1 e n-2. O que o problema pede:
  • determinar o valor de n;
  • calcular os comprimentos de onda (em nm) dos fótons emitidos nas transições:
    • n+1 \rightarrow n-2;
    • n \rightarrow n-2.

Passo 2

Lembrando as fórmulas básicas do modelo de Bohr (aqui explico com calma):
  • O raio da órbita de índice n é dado por
r_n = n^{2} a_0,
onde a_0 é o raio de Bohr ( a_0 não precisa do valor numérico neste problema porque a diferença foi dada em unidades de a_0).
  • A energia do nível n (para o átomo de hidrogênio) é
E_n = -\dfrac{13,6\\ \mathrm{eV}}{n^{2}}.
Quando um elétron faz uma transição de um nível inicial n_i para um nível final n_f (com n_i>n_f), a energia do fóton emitido é
\Delta E = E_{n_f}-E_{n_i}=13{,}6\\ \mathrm{eV}\!\left(\dfrac{1}{n_f^{2}}-\dfrac{1}{n_i^{2}}\right),
e o comprimento de onda correspondente (em nm) pode ser obtido por
\lambda\\ \text{(nm)}=\dfrac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{\Delta E\\ (\mathrm{eV})},
onde usei a constante hc\approx1240\\ \mathrm{eV\cdot nm} (fórmula prática muito usada para converter energia em eV para comprimento de onda em nm).

Passo 3

Usar a informação sobre a diferença de raios. Escrevendo \Delta r = r_{n+1}-r_{\,n-2} e usando r_n=n^{2}a_0:
r_{n+1}-r_{n-2} = (n+1)^{2}a_0 - (n-2)^{2}a_0 = 15\,a_0.
Dividindo por a_0 obtemos a equação em n:
(n+1)^{2} - (n-2)^{2} = 15.

Passo 4

Resolver a equação. Primeiro expandir os quadrados:
(n+1)^{2} = n^{2}+2n+1, \qquad (n-2)^{2} = n^{2}-4n+4.
Subtraindo:
(n+1)^{2} - (n-2)^{2} = (n^{2}+2n+1) - (n^{2}-4n+4) = 6n-3.
Logo a equação vira
6n-3 = 15.
Somando 3 aos dois lados e dividindo por 6:
6n = 18 \quad\Rightarrow\quad n = 3.

Passo 5

Interpretação: encontramos \;n=3. Então os níveis pedidos são:
n+1 = 4,\qquad n = 3,\qquad n-2 = 1.
As transições pedidas são então 4\to1 e 3\to1.

Passo 6

Calcular o comprimento de onda para a transição n+1\to n-2, isto é 4\to1.
A energia do fóton é
\Delta E_{4\to1} = 13{,}6\\ \mathrm{eV}\!\left(\dfrac{1}{1^{2}}-\dfrac{1}{4^{2}}\right) =13{,}6\\ \mathrm{eV}\left(1-\dfrac{1}{16}\right) =13{,}6\\ \mathrm{eV}\cdot\dfrac{15}{16}.
Calcular numericamente:
\Delta E_{4\to1} = 13{,}6\cdot 0{,}9375 = 12{,}75\\ \mathrm{eV}.
Agora o comprimento de onda:
\lambda_{4\to1}=\dfrac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{12{,}75\\ \mathrm{eV}} \approx 97{,}25\\ \mathrm{nm}.

Passo 7

Calcular o comprimento de onda para a transição n\to n-2, isto é 3\to1.
A energia do fóton é
\Delta E_{3\to1} = 13{,}6\\ \mathrm{eV}\!\left(\dfrac{1}{1^{2}}-\dfrac{1}{3^{2}}\right) =13{,}6\\ \mathrm{eV}\left(1-\dfrac{1}{9}\right) =13{,}6\\ \mathrm{eV}\cdot\dfrac{8}{9}.
Calcular numericamente:
\Delta E_{3\to1} = 13{,}6\cdot 0{,}888\overline{8} = 12{,}088\overline{8}\\ \mathrm{eV}.
Comprimento de onda:
\lambda_{3\to1}=\dfrac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{12{,}088\overline{8}\\ \mathrm{eV}} \approx 102{,}55\\ \mathrm{nm}.

Resposta

n=3
\lambda_{n+1\rightarrow n-2}=97{,}25\\ \mathrm{nm}
\lambda_{n\rightarrow n-2}=102{,}55\\ \mathrm{nm}

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