No modelo de Bohr, considere que a diferença entre os raios das órbitas
e
é:
Determine:
- o valor de
- os comprimentos de onda (em nm ) dos fótons emitidos nas transições:
-
- $n \rightarrow n-2
Passo 1
O enunciado fornece a diferença entre os raios de duas órbitas no modelo de Bohr:
onde
é o raio de Bohr. As órbitas envolvidas são as de índices
e
. O que o problema pede:
- determinar o valor de
; - calcular os comprimentos de onda (em nm) dos fótons emitidos nas transições:
-
; -
.
-
Passo 2
Lembrando as fórmulas básicas do modelo de Bohr (aqui explico com calma):
- O raio da órbita de índice
é dado por
onde
é o raio de Bohr (
não precisa do valor numérico neste problema porque a diferença foi dada em unidades de
).
- A energia do nível
(para o átomo de hidrogênio) é
Quando um elétron faz uma transição de um nível inicial
para um nível final
(com
), a energia do fóton emitido é
e o comprimento de onda correspondente (em nm) pode ser obtido por
onde usei a constante
(fórmula prática muito usada para converter energia em eV para comprimento de onda em nm).
Passo 3
Usar a informação sobre a diferença de raios. Escrevendo
e usando
:
Dividindo por
obtemos a equação em
:
Passo 4
Resolver a equação. Primeiro expandir os quadrados:
Subtraindo:
Logo a equação vira
Somando
aos dois lados e dividindo por
:
Passo 5
Interpretação: encontramos
. Então os níveis pedidos são:
As transições pedidas são então
e
.
Passo 6
Calcular o comprimento de onda para a transição
, isto é
.
A energia do fóton é
A energia do fóton é
Calcular numericamente:
Agora o comprimento de onda:
Passo 7
Calcular o comprimento de onda para a transição
, isto é
.
A energia do fóton é
A energia do fóton é
Calcular numericamente:
Comprimento de onda: